1 . 已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

2 . 设椭圆的左、右焦点分别为，O为坐标原点，椭圆C的离心率为.
(1)若椭圆C的上顶点为W，且的面积为，求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C的内部点且斜率为的直线l交C于M，N两点，若椭圆C上存在点Q，使得，求b的最大值.

4 . 已知椭圆C：，点E(－4，0)，过点E作斜率大于0的直线与椭圆C相切，切点为T.
(1)求点T的坐标；
(2)过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，直线EB与椭圆C的另一个交点为N，求证：；
(3)请结合（2）的问题解决，运用类比推理，猜想写出抛物线中与之对应的一个相关结论(无需证明).

6 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（PM与PN的斜率均存在），直线PM，PN分别与圆O相交于异于点P的A、B两点.
①求证：；
②求面积的取值范围.

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知圆，椭圆的左右焦点为，过且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A，B两点．
（ⅰ）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（ⅱ）作于点Q，求证：是定值．

9 . 已知圆，若椭圆右顶点为圆M圆心，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段上），且，求k的值．

10 . 已知椭圆：的上顶点为，左，右焦点分别为，，的面积为，直线的斜率为.为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.，且，求直线的方程.