1 . 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.

(1)求证：;
(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在上.
(1)证明：（其中为的离心率）；
(2)当时，是否存在过点的直线与交于两点，其中，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

4 . 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点（异于点），且的面积为，过点A作直线，交椭圆于点，求证：.

5 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），且直线，，的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值．

6 . 已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．

7 . 已知椭圆的焦距为，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.
（1）求弦的长；
（2）当直线的斜率，且直线时，交椭圆于，若点在第一象限，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.