1 . 已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.

2 . 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程.
(2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于 ､两点，求的面积.

5 . 椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别为，，上顶点为B，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作关于x轴对称的两条不同的直线和，交椭圆于点，交椭圆于点，且，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

6 . 已知椭圆的离心率为，且经过点，，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当点位于第二象限时，求的取值范围.

8 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

9 . 已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

10 . 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.