1 . 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．

2 . 在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．

3 . 已知，是椭圆上两点，点M的坐标为．
(1)当，两点关于轴对称，且为等边三角形时，求AB的长；
(2)当，两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形．

4 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.

5 . 过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________．

6 . 已知椭圆：，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

7 . 已知椭圆，直线与该椭圆交于A，B两点，求线段AB中点的坐标和线段AB的长．

8 . 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．