1 . 如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点（、在同一象限内），称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的“伴随点”为．
   
(1)求椭圆及其“伴随圆”的方程；
(2)求的最大值，并求此时“伴随点”的坐标；

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.

(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.

3 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于M、N两点，若的周长为16，离心率，则面积的最大值为（       ）

A．12

B．2

C．4

D．8

4 . 如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6．

(1)求椭圆G的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
(3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；
(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点．
(1)求的短轴长及的周长；
(2)若直线l过点，求弦长；
(3)若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值．

8 . 已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.

(1)若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；
(2)对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；
(3)在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.

9 . 已知椭圆的左右焦点为，，实常数满足，过且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于不同两点P，Q，与y轴交于点N，且，.

(1)若直线过点，求的周长；
(2)若直线过点，的面积为，求直线的方程；
(3)求证：为定值

10 . 已知椭圆：，、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形.
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：，.求证：与面积之比为定值.