【推荐1】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点，且．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点，证明：直线平分．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，为右焦点，上一点满足垂直于轴，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为2的直线交椭圆于，两点，且直线不过原点，求面积的最大值.

【推荐3】如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

【推荐1】已知直线与椭圆交于 两点，与直线交于点
（1）证明：与C相切；
（2）设线段 的中点为 ，且,求的方程.

【推荐2】椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为，且满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过点，求证：该圆与直线恒相切.

【推荐3】已知椭圆的长轴长为4,且椭圆与圆:
的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程
(2)椭圆的左右两个顶点分别为,直线与椭圆交于两点,且满足,求的值.

【推荐1】已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点，过椭圆外一点且斜率为的直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若截圆所得的弦长为，求的面积.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，离心率，长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于、两点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，当面积为时，求直线的方程.

【推荐3】如图，在直角坐标系中，是轴上关于原点对称的两定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)已知，若直线交曲线于两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于，两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若，求面积的取值范围．

【推荐2】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

【推荐3】已知椭圆的左､右顶点分别为，椭圆的长半轴的长等于它的焦距，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点（不同于），直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：轴.