1 . 已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；
(2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.

2 . 设椭圆E₁的长半轴长为a₁、短半轴长为b₁，椭圆E₂的长半轴长为a₂、短半轴长为b₂，若，则我们称椭圆E₁与椭圆E₂是相似椭圆．已知椭圆E：，其左顶点为A、右顶点为B．

(1)设椭圆E与椭圆F：是“相似椭圆”，求常数s的值；
(2)设椭圆G：，过A作斜率为k₁的直线l₁与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k₂的直线l₂与椭圆G只有一个公共点，求| 的值；
(3)已知椭圆E与椭圆H：是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x₀，y₁），且椭圆E上的点M（x₀，y₂）（）求证：AM⊥BC．

3 . 椭圆C：的离心率为，短轴长为4．左右顶点分别为、

(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于，的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值．
(3)如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为，，若，求实数的取值范围．

4 . 已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，，，记，，的面积分别为S，，.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：为定值；
(3)若，当时，求实数范围.

5 . 已知，是其左右焦点，，直线过点交于两点，在轴上方，且 在线段上，
(1)若是上顶点，，求；
(2)若，且原点到直线的距离为，求直线；
(3)证明：对于任意 ，使得的直线有且仅有一条.

6 . （本小题满分12分）
已知椭圆 ，直线不过原点O且不平行于坐标轴， 与有两
个交点A、B，线段AB的中点为M．
（1）若，点K在椭圆上， 、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？
   若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．