1 . 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

2 . 设椭圆的左焦点为．过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且．
(1)求证：，并求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C上顺时针依次排列的四个点，求四边形面积的最大值并计算此时的的值．

4 . 已知椭圆过和两点.
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

5 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点在椭圆上，且，
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值.

6 . 已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.

7 . 已知曲线上任意一点到直线：的距离是它到点距离的2倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.
（1）求，的方程；
（2）设过点的动直线与曲线相交于，两点，分别以，为切点引曲线的两条切线，，设，相交于点.连接的直线交曲线于，两点.
（i）求证：；
（ii）求的最小值.

8 . 已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；
（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

9 . 如图，椭圆的离心率，且椭圆C的短轴长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上的三个动点.
（i）若直线过点D，且点是椭圆的上顶点，求面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在是以为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
①证明：以为直径的圆经过点；
②记和的面积分别是,求的最小值.