1 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不过点的直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆经过点，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.

3 . 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过轴上一定点.

4 . 已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）求直线与曲线的相交弦长；
（3）曲线的右顶点为，直线：与椭圆相交于点，，则直线，的斜率分别为，且，，为垂足，问是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由？

5 . 已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求面积的最大值.