1 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
(3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.

2 . 已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.

3 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．
①求证：直线恒过x轴上一定点；
②设和的面积分别为，求的最大值．

4 . 已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标．

5 . 已知椭圆，点在上，，且
(1)求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）
(2)过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线l与椭圆相交于、两点，与轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，为线段的中点，若为定值，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.

7 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．

8 . 已知椭圆（）的离心率为，连接椭圆四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的右顶点，过点作两条互相垂直的直线，分别与椭圆交于，两点，求证：直线过定点；
（3）（只理科做）过点作两条互相垂直的直线，，与圆：交于，两点，交椭圆于另一点，求面积的最大值.

9 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

10 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，且直线：被椭圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆：相切：
（i）求圆的标准方程；
（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．