1 . 设，，为平面直角坐标系内，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹方程.
(2)过点作直线与（1）中点的轨迹方程交于A，两点，设（为坐标原点），是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由.

2 . 已知椭圆的左．右焦点为，离心率为.直线与轴，轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设.
（1）证明：；
（2）若，的周长为；写出椭圆的方程；
（3）确定的值，使得是等腰三角形.

3 . 设椭圆（）的左右焦点分别为，椭圆的上顶点为点，点为椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，过点的直线交椭圆于两点，求线段的中点的轨迹方程.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点，证明点在定直线上，并求出定直线的方程.

5 . 椭圆的左右焦点分别为.直线，若椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆上不同于点 的点，直线与圆的另一个交点为.是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

7 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，且的中点在直线上，点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：．

8 . 椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆中心的弦满足，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线不经过点，且与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

9 . 已知椭圆：经过点，且离心率为，，是椭圆的左，右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是椭圆上关于轴对称两点（，不是长轴的端点），点是椭圆上异于，的一点，且直线，分别交轴于点，，求证：直线与直线的交点在定圆上.

10 . 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.   
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.