1 . 已知椭圆的长轴长为4，，为E的左､右焦点，M为E上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为.
(1)求E的标准方程：
(2)过点作斜率之和为3的两条直线，，与E交于点A，B，与E交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，过点作，垂足为H.试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值.

2 . 设椭圆的离心率，焦距为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线交椭圆于两点，为直线上的一点，是否存在直线与点P，使得恰好为等边三角形，若存在求出的面积，若不存在说明理由．

3 . 已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，点，试判断在椭圆上是否存在三个不同点（其中的纵坐标不相等），满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，P是椭圆G上任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|＝2．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线y＝x+m与椭圆G相交于不同的两点M，N，且B（0，﹣1）是否存在实数m，使得|BM|＝|BN|？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C交于P，Q均在第一象限，直线OP，OQ的斜率分别为，，且（其中O为坐标原点）.证明：直线l的斜率k为定值.

8 . 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．