1 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线交椭圆于、两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由．

2 . 已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设过点的直线与椭圆交于（异于两点）两点，直线，分别与轴交于三点.证明：是线段的中点.

3 . 已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值.

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.

（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.