2 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

3 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

4 . 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

5 . 作斜率为的直线与椭圆：交于两点(如图所示)，且在直线的左上方．证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；

6 . 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．
(3)已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.
(1)求实数的值；
(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合是一个圆.

9 . 已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)设，求的值；
(2)求证：；
(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作两条直线和，与C交于点A，B，与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线和的斜率分别为，，
①若，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
②若，过点作，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．