1 . 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；
(3)为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆C：的离心率为，在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆左顶点为A，过点且不平行于x轴的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与直线的交点分别为M，N，试判断点B与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)设，求的值；
(2)求证：；
(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.
(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两不同点．
(1)若直线过左焦点，求的周长；
(2)若直线过点，求的取值范围；
(3)已知常数，点A是椭圆与抛物线在第一象限的公共点．是否存在点，使得线段的中点在抛物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

9 . 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上一点（不与A，B重合），直线AP，BP分别与直线相交于点M，N.当点P运动时，求证：以MN为直径的圆交x轴于两个定点.

10 . 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有________个.