1 . 设
分别为椭圆
的左､右焦点，
是椭圆
短轴的一个顶点，已知
的面积为
.如图，
是椭圆上不重合的三个点，原点
是
的重心.的方程；
(2)求点
到直线
的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.
分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
的方程；(2)求点
到直线的距离的最大值；(3)判断
的面积是否为定值，并说明理由.
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345次组卷
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2卷引用：上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
2 . 点是椭圆
：
（
）上（左、右端点除外）的一个动点，
，
分别是的左、右焦点.
(1)设点到直线
：
的距离为
，证明
为定值，并求出这个定值；
(2)的重心与内心（内切圆的圆心）分别为
，
，已知直线
垂直于
轴.
（ⅰ）求椭圆的离心率；
（ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.
是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点.(1)设点
到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值；(2)
的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴.（ⅰ）求椭圆
的离心率；（ⅱ）若椭圆
的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.
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3 . 已知椭圆经过点
，且焦距为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为
、
，点为椭圆上异于、的动点，设
交直线
于点
，连接
交椭圆于点
，直线
的斜率分别为
．
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
经过点，且焦距为．(1)求椭圆
的方程；(2)设椭圆
的左、右顶点分别为、，点为椭圆上异于、的动点，设交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为．①求证：
为定值；②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
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4 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为
，且经过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线
分别与椭圆交于点
．设
的面积分别为
．求证：
为定值．
的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．
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7日内更新
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554次组卷
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2卷引用：四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷理科数学试题
名校
解题方法
5 . 已知椭圆
的离心率为
，一个顶点为，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.
的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于点.(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
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2024·全国·模拟预测
6 . 已知椭圆
的左、右顶点分别为
，直线
的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线
与轴分别交于点
．
①设直线
的斜率分别为
，求
的取值范围．
②判断
是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．(1)求椭圆
的方程．(2)若点
是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．①设直线
的斜率分别为，求的取值范围．②判断
是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
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7 . 已知椭圆
分别为椭圆的左顶点和右焦点，过
作斜率不为
的直线交椭圆于点，两点，且
.当直线
轴时，
.的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问
是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线
交
轴于点，若过点作直线的平行线
交椭圆于点，求
的最小值.
分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.
的方程；(2)设直线
的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；(3)直线
交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.
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2024·全国·模拟预测
8 . 已知椭圆
的焦距为
，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
作两条直线
交于两点，
交于两点，若
四点均不在坐标轴上，且
关于坐标原点对称，记直线
与
的斜率分别为
，判断是否存在非零常数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
的焦距为，离心率为.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过点
作两条直线交于两点，交于两点，若四点均不在坐标轴上，且关于坐标原点对称，记直线与的斜率分别为，判断是否存在非零常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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9 . 已知为坐标原点，定点
，
，动点满足直线
和
斜率乘积等于
．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若不垂直于轴的直线与交于
两点，若以
为邻边作平行四边形
，点恰好在上．问平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
为坐标原点，定点，，动点满足直线和斜率乘积等于．(1)求动点
的轨迹的方程；(2)若不垂直于
轴的直线与交于两点，若以为邻边作平行四边形，点恰好在上．问平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
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名校
解题方法
10 . 已知椭圆C：（）的离心率为
，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设
与
的面积分别为
，
，试判断
是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，．(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
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