1 . 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，点在椭圆上.过坐标原点的直线交于两点，其中点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：是直角三角形.

2 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

3 . 动点N（x，y）与定点F（1，0）的距离和N到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点N的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，点，设直线MA与直线MB的斜率分别为，．随着直线l的变化，是否为定值？请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A、B两点，点，求证：为定值．

5 . 已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，

6 . 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，记四边形的内切圆为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P、Q．
(1)试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；
(2)记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．

7 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

9 . 已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.

(1)记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；
(2)证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.

10 . 已知椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于A、B两点，为左焦点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：．