1 . 已知双曲线：（，）的右顶点为A，点在轴的正半轴上，且，：为的一条渐近线，过点A向作一条垂线，垂足为点，四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程．
(2)在轴上是否存在一点（异于原点），过点作直线，与双曲线相切于点，过点作直线，与双曲线交于不同的两点，，使得？

2 . 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．

3 . 双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，点是轴上一点，，，则双曲线的离心率为______．

4 . 已知双曲线C：的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.

5 . 已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度.

6 . 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数___________.

7 . 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．

8 . 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为___________；若，则直线的斜率为_______．

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.

10 . 已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.