1 . 已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．
(1)求C的方程．
(2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
(1)若直线AB的斜率为，求．
(2)试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x²+y²=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

4 . 已知双曲线过点，且的渐近线方程为．

(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．