1 . 已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
(1)求的方程．
(2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．

2 . 已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形．
(1)求半径R的值；
(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．

3 . 已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于、两点，且
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为轴的负半轴上任意一点，为抛物线上任意一点，且，求证：直线与抛物线有且只有一个公共点．

4 . 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点（不与原点重合）处的切线交椭圆于、两点，线段的中点为.直线与过点且平行于轴的直线的交点为，证明：点必在定直线上.

5 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

(1)求的值；
(2)设是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.
（1）证明：
（2）过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.