1 . 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.   
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于A、B两点，且(是坐标原点），求证：直线AB过定点，并求定点坐标．

2 . 已知圆，直线.动圆与圆相外切，且与直线相切.设动圆圆心的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若点，是上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点.

3 . 已知抛物线的焦点为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线交于两点，且点在点上方，点与点关于轴对称.

(1)求证：直线过某一定点；
(2)当直线的斜率为正数时，若以为直径的圆过，求的内切圆与的外接圆的半径之比.

4 . 已知抛物线的准线方程为，点为坐标原点，不过点的直线与抛物线交于不同的两点．
(1)如果直线过点，求证： ；
(2)如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．

5 . 已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.
(1)若直线的方程为，求证:；
(2)若，则直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

6 . 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点.点是与轴的交点，、两点在抛物线上且直线过点，过点及的直线交抛物线于点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：直线过一定点，并求出该点坐标.

7 . 在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．