1 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状．
(2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

2 . 已知是抛物线的焦点，过点直线交抛物线于、两点.若，直线、直线分别交抛物线于、两点.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)若直线、的斜率存在且分别为，，求的最小值.

3 . 已知抛物线：，F为焦点，为抛物线C上的两个动点，不垂直于轴，且.
(1)证明：线段的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中的定点为，求面积的最大值．

4 . 如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.

(1)求抛物线方程；
(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点

6 . 已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足，过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点.
(1)求证：直线与轴相交于定点；
(2)试探究轴上是否存在定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

8 . 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．

9 . 已知双曲线经过点，且渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)若抛物线与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点.

10 . 已知抛物线：，为其焦点，为原点，是上位于轴两侧的不同两点，且.
(1)求证：直线恒过一定点；
(2)若点为轴上一定点，使到直线和的距离相等，当为的内心时，求的重心.