1 . 已知抛物线：（）的焦点为F，A，B是抛物线上两点（A，B互异）.
(1)若，且，求抛物线的方程.
(2)O为坐标原点，G为线段中点，且.
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）x轴上的定点E满足为的角平分线，连接、，延长交于点P，延长交于点Q，求的最大值（用含p的代数式表示）.

2 . 已知抛物线：，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.
(1)若直线过的焦点.

(i)当的面积最小时，求直线的方程；

(ii)当，记的外接圆与的另一个交点为，求；

(2)设圆（，）与交于四点，，，，记弦，的中点分别为，，求证：线段被定点平分，并求定点坐标.

3 . 如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．

(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．

4 . 已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知过上一点的直线分别交于两点（异于点A），设的斜率分别为．
①若，求证：直线过定点；
②若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．

5 . 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．
(1)求的方程；
(2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．
①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：为定值．

6 . 抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若点坐标为，证明：直线过定点；
(3)若，求面积的最小值．

7 . 已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；
(3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点

8 . 已知二元关系，曲线．
(1)若，，正方形ABCD的四个顶点在曲线上，求正方形ABCD的面积；
(2)若，设曲线与x轴的交点为M，N，抛物线与y轴的交点为G，直线MG与抛物线交于点P，直线NG与抛物线交于点Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．

9 . 双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
   
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.

10 . 过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．
(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(2)在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．