1 . 已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

2 . 在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点.

3 . 已知双曲线的焦点为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

4 . 已知抛物线的焦点F在直线上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上．

6 . 已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称．
(1)求的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的取值范围．

7 . 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
(1)求的值及的方程；
(2)证明：线段的垂直平分线过定点；
(3)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．

9 . 已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为.
(1)求的方程；
(2)若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点.

10 . 已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.
(1)若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
(2)若，求面积的最小值.