1 . 已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
(1)求点的坐标及抛物线的方程；
(2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

2 . 在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点,设直线、的斜率分别为、.
(1)若直线经过抛物线的焦点，证明：；
(2)若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.

3 . 已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．
(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；
(2)若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．

5 . 在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．

6 . 已知圆与定直线，且动圆与圆外切并与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点是直线上一个动点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为、.
①求证：直线过定点；
②求证：.

7 . 已知抛物线上的点到点的距离的最小值为．
（1）求的方程；
（2）若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，线段，的中点分别是，，是否存在定圆使得直线截该圆所得的线段长恒为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，说明理由．

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）已知直线交抛物线于点，且，证明：直线过定点.

9 . 已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.

10 . 已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点）.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹相交于两不同点、，如果，证明直线必过一定点，并求出该定点的坐标.