1 . 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（，均不与点重合）.设直线，的斜率分别为，，.直线是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.

2 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到其焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程与准线方程；
（2）直线与抛物线相交于两点(位于轴的两侧)，若，求证直线恒过定点.

3 . 抛物线M:的焦点为F，过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为.
(1)求证:直线过定点，并求出这个定点；
(2)若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程.

4 . 已知抛物线（）的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的面积为2.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，（3，2）是线段的中点，求直线的方程.

5 . 已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若，求面积的最小值．

6 . 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足.
（1）求、的值；
（2）设、是抛物线上不与重合的两个动点，记直线、与的准线的交点分别为、，若，问直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.

7 . 已知点为抛物线的焦点，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点．
（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）设直线交抛物线于，两点，试求的最小值．

8 . 已知定点，是直线：上一动点，过作的垂线与线段的垂直平分线交于点.的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）直线（为坐标原点）与交于另一点，过作垂线与交于，直线是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

9 . 已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.
（I）求证：是直角三角形；
（II）轴上是否存在一定点，使三点共线.

10 . 已知动点到直线的距离比到定点的距离多1.
（1）求动点的轨迹的方程
（2）若为（1）中曲线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，过坐标原点的直线交曲线于另外一点，证明直线过定点，并求出定点坐标.