1 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线上点作两条弦，交抛物线于，设其斜率分别为，且（为常数，）.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒过定点.

2 . 已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线交y轴正半轴于点B，且有，当点A的纵坐标为6时，为正三角形.
   
（1）求C的方程；
（2）若直线，且和C有且只有一个公共点D，证明：直线AD过定点，并求出该定点坐标.

3 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：上一点到准线的距离与到原点的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点.

4 . 已知抛物线C的对称轴为x轴，点在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA.PB的斜率为，，满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线AB过定点；
（3）当点P到直线AB距离最大时，求的面积.

5 . 已知抛物线x²=2py(p>0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A，C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点.
（1）若ABCD，求面积的最小值；
（2）设直线AC的斜率为k_AC，直线BD的斜率为k_BD，且k_AC+4k_BD＝0，求证：直线AC过定点，并求此定点.

6 . 已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.

7 . 已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，其中为切点.
（1）求曲线的方程；
（2）判断直线是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.

8 . 已知点为抛物线上异于原点的任意一点，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于点，点关于轴的对称点为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）如果，求实数的取值范围.

9 . 已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.
（1）若，求；
（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.

10 . 已知点到直线的距离比它到点的距离大1.
（1）求点的轨迹的方程.
（2）设点，，，过作曲线的切线，切点为，延长（为坐标原点）交直线于点，且.
①求证：直线经过定点，并求出点的坐标.
②求的最大值.