名校
解题方法
1 . 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 
例如在1秒末，粒子会等可能地出现在
四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点
，记
的取值为随机变量
，求 的分布列和数学期望
；
(2)记第
秒末粒子回到原点的概率为
.
（i）已知
求 
以及
；
（ii）令
，记
为数列
的前项和，若对任意实数
，存在
，使得
，则称粒子是常返的.已知 
证明：该粒子是常返的.
例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处.(1)设粒子在第2秒末移动到点
，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；(2)记第
秒末粒子回到原点的概率为.（i）已知
求 以及；（ii）令
，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
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2 . 如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作
，
，
，
，
，
，
，
，
. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.
(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2秒机器人位于区域
的概率；(3)求经过
秒机器人位于区域的概率.
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3 . 若数列
的通项公式为
，记在数列的前
项中任取两数都是正数的概率为
，则（ ）
的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-03-12更新
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1146次组卷
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4卷引用：山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题
山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题山东省临沂市费县费县第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）【讲】专题10 数列与其它知识的交汇问题（已下线）专题9 考前押题大猜想41-45
4 . 三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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名校
5 . 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件
“甲参加跳高比赛”，事件
“乙参加跳高比赛”，事件
“乙参加跳远比赛”，则（ ）
“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）| A．事件A与B相互独立 | B．事件A与C为互斥事件 |
C． | D． |
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2023-06-21更新
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4859次组卷
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20卷引用：山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题
山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题广东省佛山市禅城区2023届高三模拟预测（二）数学试题（已下线）广东省深圳市深圳中学2024届高三上学期8月开学摸底数学试题广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三上学期8月月考数学试题广东省佛山市顺德区容山中学2024届高三上学期10月月考数学试题广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三港澳班上学期期中数学试题（已下线）第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（练习）四川省宜宾市南溪第一中学校2024届高三上学期一诊考试理科数学模拟试题河北省保定市唐县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）概 率湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第一次高考模拟数学试题（已下线）题型26 5类概率统计选填解题技巧湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期模拟预测数学试题福建省漳州立人学校2022-2023学年高二下学期第二次（6月）月考数学试题河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题专题14条件概率与全概率公式（已下线）专题03 条件概率与全概率公式（4）（已下线）专题7.10 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期3月考前测试（A）数学试题
名校
解题方法
6 . 教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为 |
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为 |
C．每所学校都有男大学生的概率为 |
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为 |
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2023-06-03更新
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2533次组卷
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4卷引用：山东省烟台招远市2023届高三下学期5月全国新高考Ⅰ卷模拟数学试题
山东省烟台招远市2023届高三下学期5月全国新高考Ⅰ卷模拟数学试题（已下线）第一节 计数原理 B卷素养养成卷（已下线）第04讲 随机事件、频率与概率（练习）湖北省武汉市第四十九中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题
解题方法
7 . 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
| A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 |
| B．若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大 |
| C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 |
D．若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则 |
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名校
8 . 由
个小正方形构成长方形网格有
行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为
，放红球的概率为q，
.
(1)若
，
，记
表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程
，并预测
时，y的值；（精确到1）
(2)若，
，
，
，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：
.
附：经验回归方程系数：
，
，
，
.
个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.(1)若
，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 76 | 56 | 42 | 30 | 26 |
，并预测时，y的值；（精确到1）(2)若
，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：
.附：经验回归方程系数：
，，，.
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2023-01-15更新
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2665次组卷
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7卷引用：山东省青岛市2022-2023学年高三上学期期末数学试题
山东省青岛市2022-2023学年高三上学期期末数学试题重庆市缙云教育联盟2023届高三二模数学试题（已下线）模块八 专题10 以概率与统计为背景的压轴大题江苏省无锡市南菁高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试题江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷（已下线）第八章 成对数据的统计分析（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题8.8 成对数据的统计分析全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
9 . 2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战
惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知
．
①试证明
为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较
与
的大小．
惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为
，易知．①试证明
为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较与的大小．
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2022-05-12更新
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5971次组卷
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20卷引用：山东省东营市广饶县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
山东省东营市广饶县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题湖北省八市2022届高三下学期3月联考数学试题重庆市缙云教育联盟2022届高三下学期3月质量检测数学试题（已下线）三轮冲刺卷04-【赢在高考·黄金20卷】备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【数学】（新高考地区专用）（6月3日）江苏省淮安市2022届高三下学期5月模拟数学试题江苏省南京市江宁高级中学2022届高三下学期适应性考试数学试题（已下线）6.7 均值与方差在生活中的运用（精练）（已下线）8.6 分布列与其他知识综合运用（精练）广东省广州市四校2023届高三上学期第二次模拟联考数学试题山东省威海市第二中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题6 随机游走与马尔科夫过程 微点2 随机游走与马尔科夫过程综合训练（已下线）【一题多变】传球问题 构造数列浙江省杭州学军中学西溪校区2021-2022学年高二下学期4月期中数学试题广东省珠海市第二中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题辽宁省锦州市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（已下线）高中数学 高二下-4辽宁省沈阳市东北育才双语学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）第四章 概率与统计（A卷·知识通关练）（3）
名校
10 . 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以
或
取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以
取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为
.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为
.
①求出的最大值点
；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三
取胜的概率为.①求出
的最大值点；②若以
作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
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2021-10-13更新
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6577次组卷
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17卷引用：山东省东营市广饶县第一中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题
山东省东营市广饶县第一中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）2021年新高考北京数学高考真题变式题16-21题（已下线）第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题广东省汕头市第一中学2022届高三下学期4月月考数学试题福建省福州格致中学2022届高三数学模拟试题福建省莆田第八中学2023届高三上学期入学模拟考试数学试题（二）福建省宁德市福安市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次检测数学试题（已下线）8.6 分布列与其他知识综合运用（精练）（已下线）专题1 “五育并举”类型（已下线）专题17 概率与统计的创新题型河北省邯郸市魏县2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题（已下线）情境4 推进教育改革（已下线）第九章 重难专攻(十二)概率中的综合题 （讲）一轮点点通广东省中山市第一中学2024届高三上学期第五次统测数学试题福建省泉州市第六中学2022-2023学年高二下学期期中模块测试数学试题
