名校
1 . 为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，某边远山区每户居民月用电量划分为三档：月用电量不超过150度，按0.6元/度收费，超过150度但不超过250度的部分每度加价0.1元，超过250度的部分每度再加价0.3元收费.
（1）求该边远山区某户居民月用电费用
（单位：元）关于月用电量
（单位：度）的函数解析式；
（2）已知该边远山区贫困户的月用电量（单位：度）与该户长期居住的人口数（单位：人）间近似地满足线性相关关系：
（
的值精确到整数），其数据如表：
现政府为减轻贫困家庭的经济负担，计划对该边远山区的贫困家庭进行一定的经济补偿，给出两种补偿方案供选择：一是根据该家庭人数，每人每户月补偿6元；二是根据用电量每人每月补偿
（为用电量）元，请根据家庭人数分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
参考数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（1）求该边远山区某户居民月用电费用
（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）已知该边远山区贫困户的月用电量
（单位：度）与该户长期居住的人口数（单位：人）间近似地满足线性相关关系：（的值精确到整数），其数据如表：
| 14 | 15 | 17 | 18 |
| 161 | 168 | 191 | 200 |
（为用电量）元，请根据家庭人数分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？附：回归直线
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：
，，，，，，，，.
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2018-07-15更新
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232次组卷
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2卷引用：【全国市级联考】山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
解题方法
2 . 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出与的销售（万辆）两种回归模型①
，②
，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).
（3）我们可以用
来刻画模型的拟合效果，
越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线
的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为
，且
.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.
附：最小二乘估计公式：
，
参考数据（下面的
，
）
，
，
，
，
| 年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 分年代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 某新能源车年销量（万辆） | 1.5 | 5.9 | 17.7 | 32.9 | 55.6 |
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出
与的销售（万辆）两种回归模型①，②，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).（3）我们可以用
来刻画模型的拟合效果，越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.附：最小二乘估计公式：
，参考数据（下面的
，），，，，
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名校
3 . 粮食安全始终是关系我国国民经济发展､社会稳定和国家自立的全局性重大战略问题.化肥的施用对粮食增产增收起到了重要作用，研究粮食产量与化肥施用量的关系，是做到合理施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产的前提.某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据
，
，2，3，…，10，其中
（单位：公斤）表示亩化肥施用量，
（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中
，
，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数
模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系.
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程；
(2)实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30
时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释；
(3)合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益
服从正态分布
，政府对该研究团队的奖励方案如下：若
，则不予奖励；若
，则奖励10万元；若
，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.
附：①
，
；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
；③若随机变量X服从正态分布
，则
，
，
.
，，2，3，…，10，其中（单位：公斤）表示亩化肥施用量，（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中，，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系. |  |  |  |
| 38.5 | 15 | 17.5 | 47 |
(2)实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30
时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释；(3)合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益
服从正态分布，政府对该研究团队的奖励方案如下：若，则不予奖励；若，则奖励10万元；若，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.附：①
，；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；③若随机变量X服从正态分布，则，，.
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2022-05-16更新
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799次组卷
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2卷引用：山东省烟台市2021-2022学年高二下学期期中数学试题
名校
4 . 某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数（单位：个）进行了统计，得到如下统计数据：
(1)经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程并预测2022年的报考人数；
(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布
，根据往年统计数据
，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385，400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2022年该专业录取的大约人数
最后结果四舍五入，保留整数
参考公式和数据：
，，
若随机变量X
，则
，
，
年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
报考人数y | 30 | 60 | 100 | 140 | 170 |
并预测2022年的报考人数；(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布
，根据往年统计数据，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385，400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2022年该专业录取的大约人数最后结果四舍五入，保留整数参考公式和数据：
，，若随机变量X
，则，，
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2022-06-01更新
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599次组卷
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4卷引用：山东省德州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
名校
5 . 针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战，某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1：
(1)已知这5年的年度天然气需求量y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，求y与x的线性回归方程，并预测2023年该地区的天然气需求量；
(2)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，根据续航里程的不同，将补贴金视划分为三类，A类；每车补贴1万元：B类：每车补贴2万元：C类：每车补贴3万元．某出租车公司对该公司120辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2：
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况.在该出租公司的120辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查．若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望.
参考公式：
，．
年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
天然气需求量y/亿立方米 | 24 | 25 | 26 | 28 | 29 |
(2)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，根据续航里程的不同，将补贴金视划分为三类，A类；每车补贴1万元：B类：每车补贴2万元：C类：每车补贴3万元．某出租车公司对该公司120辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2：
类型 | A类 | B类 | C类 |
车辆数目 | 20 | 40 | 60 |
，求的分布列及期望.参考公式：
，．
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2022-06-01更新
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274次组卷
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3卷引用：山东省枣庄市薛城区薛城实验中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
名校
解题方法
6 . 随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当
时，确定y与x满足的线性回归方程为
．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，
）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：
，）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布
．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求
（精确到0.01）．
（附：若随机变量
，则
，
）
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
y | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当
时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数：，）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布
．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．（附：若随机变量
，则，）
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2020-04-08更新
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1776次组卷
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8卷引用：山东省枣庄市2018-2019学年高二下学期期末数学试题
解题方法
7 . 根据国家统计局数据，1999年至2019年我国进出口贸易总额从3万亿元跃升至31.6万亿元，中国在国际市场上的贸易份额越来越大对外贸易在国民经济中的作用日益突出.将年份1999，2004，2009，2014，2019分别用1，2，3，4，5代替，并表示为
，表示全国进出口贸易总额.
（1）根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题.
方案1：用
作为全国进出口贸易总额关于的回归方程，根据以下参考数据，求出关于的回归方程，并求相关指数
.
方案2：用
作为全国进出口贸易总额关于的回归方程，求得回归方程
，相关指数
.
（2）通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额.
参考数据：
①
②
③
④
参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，，相关指数
.
，表示全国进出口贸易总额.（1）根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题.
方案1：用
作为全国进出口贸易总额关于的回归方程，根据以下参考数据，求出关于的回归方程，并求相关指数.方案2：用
作为全国进出口贸易总额关于的回归方程，求得回归方程，相关指数.（2）通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额.
参考数据：
 |  |  |
| 17.14 | 74 | 555.792 |
②③④参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，，相关指数.
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名校
解题方法
8 . 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.
（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过
件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关：
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产
件的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过
分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有
个人可派，工作人员
各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为
，且
，
，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为
，的数学期望为
，证明：
.
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式
;
.）
（参考数据：
，
.）
（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过
件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关：| （百件） |  |  |  |  |  |
| （件） |  |  |  | | |
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过
件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过
分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有个人可派，工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为，且，，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为，的数学期望为，证明：.（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式;.）（参考数据：
，.）
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2020-08-08更新
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424次组卷
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3卷引用：山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
名校
9 . 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入(亿元)与科技改造直接收益(亿元)的数据统计如下：
当
时，建立了与的两个回归模型：模型①： ；模型②：；当
时，确定与满足的线性回归方程为：.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①､②的相关指数，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为
亿元时的直接收益.
(附：刻画回归效果的相关指数
.)
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；
(附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
)
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过
，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过
，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励
万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望.
(附：随机变量服从正态分布，则
，
.)
(亿元)与科技改造直接收益(亿元)的数据统计如下： |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |
| |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |
当
时，建立了与的两个回归模型：模型①： ；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：.（1）根据下列表格中的数据，比较当
时模型①､②的相关指数，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为亿元时的直接收益.| 回归模型 | 模型① | 模型② |
| 回归方程 | | |
 |  |  |
(附：刻画回归效果的相关指数
.)（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于
亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；(附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式)（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率
大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望.(附：随机变量
服从正态分布，则，.)
您最近一年使用：0次
