解题方法
1 . 《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求,是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息:
①男生所占比例为;
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为;
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
(1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联?
(2)(ⅰ)从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人,再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.
(ⅱ)对于随机事件,,,试分析与的大小关系,并给予证明
参考公式及数据:,.
①男生所占比例为;
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为;
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
(1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联?
性别 | 体育锻炼 | 合计 | |
喜欢 | 不喜欢 | ||
男 | |||
女 | |||
合计 |
(ⅱ)对于随机事件,,,试分析与的大小关系,并给予证明
参考公式及数据:,.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
2 . 篮球职业联赛通常分为常规赛和季后赛两个阶段.常规赛采用循环赛,胜率高或者积分高的球队进入季后赛,季后赛是淘汰赛,采用三局两胜制进行淘汰,最终决出总冠军.三局两胜制是指当比赛一方先赢得两局比赛时该方获胜,比赛结束.
(1)下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表,由表中信息,依据的独立性检验,分析“主场”是否会增加胜率(计算结果保留两位小数).
(2)甲队和乙队在季后赛中相遇,经过统计甲队在主场获胜的概率为,客场获胜的概率为.每场比赛场地为上一场比赛的获胜方的场地.
(i)若第一场比赛在甲队的主场进行,设整个比赛的进行的局数为,求的分布列及数学期望;
(ii)设选择第一场为甲队的主场的概率为,问当为何值时,无论第一场比赛的场地在哪里,甲队最终获胜的概率相同,并求出此时甲队获胜的概率.
附:
(1)下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表,由表中信息,依据的独立性检验,分析“主场”是否会增加胜率(计算结果保留两位小数).
月份 | 比赛次数 | 主场次数 | 获胜次数 | 主场获胜次数 |
10月 | 8 | 3 | 6 | 3 |
11月 | 15 | 10 | 8 | 8 |
12月 | 14 | 7 | 8 | 5 |
1月 | 13 | 4 | 11 | 3 |
2月 | 11 | 7 | 6 | 5 |
3月 | 14 | 6 | 7 | 3 |
4月 | 5 | 3 | 4 | 3 |
(i)若第一场比赛在甲队的主场进行,设整个比赛的进行的局数为,求的分布列及数学期望;
(ii)设选择第一场为甲队的主场的概率为,问当为何值时,无论第一场比赛的场地在哪里,甲队最终获胜的概率相同,并求出此时甲队获胜的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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名校
3 . 2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕,中国女篮获得亚军,时隔28年再次登上大赛领奖台,追平队史最好成绩,中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况,某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查,将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”,否则称为“非女篮球迷”,从调查结果中随机抽取50份进行分析,得到数据如下表所示:
(1)补全列联表,并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关?
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,然后从这6人中,随机抽取2人,记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:,
女篮球迷 | 非女篮球迷 | 总计 | |
男 | 20 | 26 | |
女 | l4 | ||
总计 | 50 |
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中,按性别采用分层抽样的方法抽取6人,然后从这6人中,随机抽取2人,记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:,
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2022-11-21更新
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535次组卷
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3卷引用:广东省汕头市金禧中学2024届高三上学期第一次阶段考数学试题
4 . 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器,同时也是我国空间站的重要组成部分.2021年6月17日,神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱.这是中国人首次进入自己的空间站,这也标志着中国的载人航天事业迈入了一个新的台阶.某学校为了宣传这一航天盛事,特意在本校举办了一场以天和核心舱为主题的知识问答比赛(比赛的满分为100分),规定80分以上的同学为优秀.全校共有100名学生参加,根据比赛的结果统计出图中的列联表.
(1)完善列联表,并判断是否有99%的把握认为性别与获得比赛优秀的结果相关.若该学校1000名学生都参加这一比赛,且各位学生是否获得优秀相互独立,以列联表中的数据所统计出的频率为概率,试估计这1000名学生中有多少学生能获得优秀.
(2)现有3个体验航天员训练活动的名额随机分配给在比赛中获得优秀的学生,设获得体验名额的女生人数为,试计算的分布列以及数学期望.
(附:,)
(1)完善列联表,并判断是否有99%的把握认为性别与获得比赛优秀的结果相关.若该学校1000名学生都参加这一比赛,且各位学生是否获得优秀相互独立,以列联表中的数据所统计出的频率为概率,试估计这1000名学生中有多少学生能获得优秀.
(2)现有3个体验航天员训练活动的名额随机分配给在比赛中获得优秀的学生,设获得体验名额的女生人数为,试计算的分布列以及数学期望.
性别 优秀 | 男 | 女 | 总计 |
是 | 10 | ||
否 | 85 | ||
总计 | 50 |
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名校
5 . 北方的冬天室外温度极低,如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上,那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜,从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择,研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图,填写如上列联表(单位:次),判断试验结果与材料是否有关?如果有关,你有多大把握认为它们相关?
(2)研究人员得到石墨烯后.再制作石墨烯发热膜有三个环节:①透明基底及UV胶层;②石墨烯层;③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为,第三环节生产合格的概率为,且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不合格还需进行修复,第三环节的修复费用为3000元,其余环节修复费用均为1000元.试问如何定价,才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标?
附:,其中
A材料 | 材料 | 合计 | |
试验成功 | |||
试验失败 | |||
合计 |
(2)研究人员得到石墨烯后.再制作石墨烯发热膜有三个环节:①透明基底及UV胶层;②石墨烯层;③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为,第三环节生产合格的概率为,且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不合格还需进行修复,第三环节的修复费用为3000元,其余环节修复费用均为1000元.试问如何定价,才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标?
附:,其中
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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2022-05-25更新
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369次组卷
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2卷引用:广东省广州市奥林匹克中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题
6 . 为了增强学生体质,茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛,为了解学生对乒乓球运动的兴趣,从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查,男女人数相同,其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%,而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣.
(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”?
(2)为了提高同学们对比赛的参与度,比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式,每场比赛采取三局二胜制,然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学,每场积分规则如下:比赛中以取胜的同学积3分,负的同学积0分;以取胜的同学积2分,负的同学积1分.其中,小强同学和小明同学的比赛倍受关注,设每局小强同学取胜的概率为,记小强同学所得积分为, 求的分布列和期望.
附表:
(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附表:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.150 | 0.100 | 0.050 |
k0 | 0.455 | 0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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名校
7 . 现有一种需要两人参与的棋类游戏,规定在双方对局时,二人交替行棋.一部分该棋类游戏参与者认为,在对局中“先手”(即:先走第一步棋)具有优势,容易赢棋,而“后手”(即:对方走完第一步棋之后,本方再走第一步棋)不具有优势,容易输棋.
(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计,分数据如下表所示.请将表格补充完整,并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?
(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛,采用三局两胜制(即:比赛中任何一方赢得两局就获胜,同时比赛结束,比赛至多进行三局).在甲先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为;在乙先手局中,甲赢棋的概率为,乙赢棋的概率为.若比赛中“先手局”的顺序依次为:甲、乙、乙,设比赛共进行X局,求X的分布列和数学期望.
附:,.
(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计,分数据如下表所示.请将表格补充完整,并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关?
先手局 | 后手局 | 合计 | |
赢棋 | 45 | ||
输棋 | 45 | ||
合计 | 25 | 100 |
附:,.
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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2022-01-12更新
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1021次组卷
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2卷引用:广东省广州市协和中学2022届高三下学期第四次(2月)月考数学试题
名校
8 . 为了对学生进行劳动技术教育,培养正确的劳动观点和态度,养成自立、自强、艰苦奋斗的思想作风,加强理论联系实际,使学生掌握一定的生产知识和劳动技能,某学校投资兴建了甲、乙两个加工厂,生产同一型号的小型电器,产品按质量分为A,B,C三个等级,其中A,B等级的产品为合格品,C等级的产品为次品.质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件,检测结果为:甲厂合格品75件,甲、乙两厂次品共60件.
(1)根据所提供的数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关?
(2)每件产品的生产成本为30元,每件A,B等级的产品出厂销售价格分别为60元,40元,C等级的产品必须销毁,且销毁费用为每件4元.若甲、乙两厂抽到的产品中各有10件为A级产品,用样本的频率代替概率,分别说明甲,乙两厂是否盈利.
附:,其中n=a+b+c+d.
(1)根据所提供的数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关?
合格品 | 次品 | 合计 | |
甲厂 | |||
乙厂 | |||
合计 | 200 |
附:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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名校
9 . 某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件,零件尺寸均在(单位:)之间,把零件尺寸在的记为一等品,尺寸在的记为二等品,尺寸在的记为三等品,现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品,所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示:
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表,根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关?
附:
(2)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率,若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元,分别求出运用甲、乙工艺生产单件产品所获利润的分布列,并推断以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件?请说明理由.
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表,根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关?
甲工艺 | 乙工艺 | 总计 | |
一等品 | |||
非一等品 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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解题方法
10 . 为确保我国如期全面建成小康社会,实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础.在产业扶贫政策的大力支持下,某玩具厂对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用旧的生产模式,乙生产线采用新的生产模式.质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具,在抽取的200件玩具中,根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级,等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示:
(表二)
在相关政策扶持下,确保每件合格品都有对口销售渠道,但从安全起见,所有的次品必须由厂家自行销毁.
(1)请根据所提供的数据,完成上面的列联表(表二),并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关?
(2)每件玩具的生产成本为20元,等级产品的出厂单价分别为m元、40元.若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元,则A等级产品的出产单价为多少元?
附:,其中.
等级 | A | B | C |
频数 | 100 | 75 | 25 |
合格品 | 次品 | 合计 | |
甲 | 80 | ||
乙 | 5 | ||
合计 |
(1)请根据所提供的数据,完成上面的列联表(表二),并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关?
(2)每件玩具的生产成本为20元,等级产品的出厂单价分别为m元、40元.若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元,则A等级产品的出产单价为多少元?
附:,其中.
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2021-03-22更新
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1955次组卷
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5卷引用:广东省汕头市2021届高三一模数学试题
广东省汕头市2021届高三一模数学试题(已下线)黄金卷18-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷(山东高考专用)(已下线)专题8.2列联表与独立性检验(B卷提升篇)-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷(新教材人教A版,浙江专用)(已下线)解密21 统计与概率(分层训练)-【高频考点解密】2021年高考数学(理)二轮复习讲义+分层训练(已下线)押第18题 概率与统计-备战2021年高考数学(理)临考题号押题(全国卷2)