1 . “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
| A．在第10行中第5个数最大 |
B． |
C．第8行中第4个数与第5个数之比为 |
D．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为 |
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2023-06-03更新
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1227次组卷
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6卷引用：湖北省武汉市第四十九中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题
湖北省武汉市第四十九中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第五次模拟考试数学试题（已下线）专题3全真拔高模拟3（人教A版）（已下线）专题3 全真拔高模拟3（北师大2019版）（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二下学期4月数学滚动检测卷
2 . 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位
，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（ ）
，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（ ）| A．10种 | B．25种 | C．26种 | D．27种 |
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2023-05-05更新
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709次组卷
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6卷引用：湖北省宜昌市葛洲坝中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
3 . “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A． |
| B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 |
C．记第n行的第i个数为 ，则 |
D．第30行中第12个数与第13个数之比为 |
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2023-05-03更新
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1091次组卷
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6卷引用：湖北省沙市中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
湖北省沙市中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023年高二下学期期中联考数学试题辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试题（已下线）专题6.8 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题7 杨辉三角的应用问题山东省济宁市名校联考2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题
名校
解题方法
4 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为
步，求的分布列和期望；
(2)记
为设定机器人一共行走
步时游戏胜利的概率，求
，并判断当
为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的
，在前
个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有
种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记
为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为
步，求的分布列和期望；(2)记
为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将
个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
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2023-05-02更新
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2850次组卷
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9卷引用：湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟(二)数学试题
湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟(二)数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题2 最可能成功次数 微点2 最可能成功次数综合训练湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题重庆市2023届高三下学期5月月度质量检测数学试题（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选（已下线）专题04 概率统计大题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）（已下线）专题14 学科素养与综合问题（解答题19）
名校
解题方法
5 . 如图，洛书
古称龟书
，是阴阳五行术数之源
在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中随机选取
个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为
（ ）
古称龟书，是阴阳五行术数之源 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为（ ）| A．60 | B．61 | C． 5 | D． |
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2023-04-21更新
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436次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
名校
解题方法
6 . 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率
的范围是：
，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把
称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前位数字
，
，，，
，
进行某种排列得到密码.要求两个不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（ ）
的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码.要求两个不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（ ）A． 个 | B． 个 | C． 个 | D． 个 |
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2023-04-13更新
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295次组卷
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2卷引用：湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题
7 . “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为
，第3行的第3个数字为
，……，第
行的第3个数字为
则
（ ）
，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（ ）| A．165 | B．120 | C．220 | D．96 |
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2022-04-22更新
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1372次组卷
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8卷引用：湖北省黄冈市浠水县第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
湖北省黄冈市浠水县第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题河北省保定市唐县第二中学2022-2023学年高二实验部下学期3月月考数学试题（已下线）考点06 杨辉三角 2024届高考数学考点总动员【讲】广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2021-2022学年高二下学期第三次大测数学试题（已下线）专题3 杨辉三角（已下线）专题7 杨辉三角的应用问题（已下线）模块四 期中重组篇（高二下湖北）
8 . 将杨辉三角中的每一个数
都换成分数
，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：
，令
，
是
的前项和，则
______ .
都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则
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2021-10-26更新
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2519次组卷
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7卷引用：湖北省武汉市武钢三中2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
湖北省武汉市武钢三中2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题河北省衡水中学2023届高三六调数学试题广东省仲元中学2022-2023学年高二下学期五月月考数学试题上海市大同中学2021届高三上学期10月月考数学试题（已下线）数学与数学家（已下线）专题29 数列结合其他问题考查更精彩-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破（已下线）专题8 莱布尼茨
