2 . （1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.

4 . 小明将四件物品摆放在一起，然后让小狗不放回地去依次取这四件物品，若当次小狗取的物品和小明给的指令一致，则给小狗记1分，若不一致则记0分．如小狗取得物品的顺序为，则小狗得2分．显然小狗最低得0分，最高得4分．假设小狗是随机地取物品，设它的得分为X．
(1)求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若小明对小狗进行了辨别物品的训练之后，再让小狗取物品，当小狗连续两次得分都大于2分时，小明认为自己的训练是卓有成效的．请从概率学的角度解释小明这么认为是否合理．

8 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情景
目前新高考实行不分文理科的科目改革，对统考科目提出了新的功能定位和区分选拔要求.因此数学考试必须研宽创新试卷结构和试题形式，以增强数学考试的选拔功能，实现考试目标．2020年开始，高考数学出现了一种新题型-多选题，教育部考试中心通过科学测量分析，指出多选题扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度.2021年高考命题的六大要求中提到：选择题的题干应围绕一个中心，和选项的关系一致，干扰项的有效性和迷惑性能反映考生的典型错误，各选项的结构和语言长度应大体一致，各题正确选项的分布要基本均匀.
多选题突出了数学核心概念，强化了基础知识和基本技能的有效落实﹔关注了学生合情推理和演绎推理的有机结合；依托数学模型，注重了对数学思想方法的考查；多选题的考核与数学新课标的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）关系密切，相辅相成．数学多选题具有无需解题过程，考试分值小，考查容量大，解题思路广，数学思想丰富，对学生能多层次区分的特点．多选题对学生能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维品质.
（2）提出问题
在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
已知考试作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．若该考生期望得到高分，请你替他设计答题方案．
（3）分析问题
策略最优问题，往往依据得分的期望来考虑，这需结合随机变量的分布列来计算.
2．收集数据
某考生通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：

策略		概率		每题耗时（分钟）
		第11题	第12题
A	选对选项	0.8	0.5	3
B	部分选对	0.6	0.2	6
	全部选对	0.3	0.7

3．分析数据
将上表中得到的频率看成概率，结合题设条件可得该同学可能的得分值为0，2，4，5，7，10.
4.建立模型
对于两题，该同学可有4中方案：
方案题采用策略，12题采用策略；方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；方案题采用策略，12题采用策略；
5.问题解决
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

	0	2	4	5	7	10
	0.01	0.08	0.12	0.1	0.48	0.21

所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于，故不选方案，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：

	0	2	4	5	7
	0.02	0.12	0.16	0.14	0.56

所以，
方案的期望值也小于，故不选方案；
所以建议考生方案题和12题均采用策略．
6．拓展与延伸
新高考数学的多选题共4题，一般是前两题为基础题，而后两题而难题，那么在这样的情况下，考生为了获得更多的多选题的分数，又应该如何结合自身实际情况设计相应的策略？

9 . 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
(2)哪两位同学进行首场比赛能使甲获胜的概率最大？请作出判断并说明理由.

10 . 李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.
(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；
(2)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.
附：①随机变量服从正态分布，则
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.