1 . 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀，该公司按照某种质量指标给宣纸确定质量等级，如下表所示：

的范围
质量等级	正牌	副牌	废品

公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（张）进行检验，得到的频率分布直方图如图所示．已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸的利润为元，废品宣纸的利润为元．

（1）试估计该公司生产宣纸的年利润；
（2）该公司预备购买一种售价为万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标服从正态分布，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：

的范围
一张宣纸的利润
频率

将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．
附：若，则，，．

2 . 某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

第一段生产的半成品质量指标	或	或
第二段生产的成品为一等品概率	0.2	0.4	0.6
第二段生产的成品为二等品概率	0.3	0.3	0.3
第二段生产的成品为三等品概率	0.5	0.3	0.1

从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：，，）

3 . 有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至11 kg）频数分布表如下（单位：kg）：

分组
频数	10	15	45	20	10

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．请估算该种植园内水果质量在（4，8.2）内的百分比；
(2)现从质量为，，的三组水果中用分层抽样方法取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量为，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的3个水果总利润为元．求的分布列及数学期望．
（附：若，则，）

4 . 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	56.5	31	22.75	17.8	15.95	14.5	13	12.5

根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：

0.34	0.115	1.53	184	5777.555	93.06	30.705	13.9

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.

7 . 攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布．
(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率；
(2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：

       

该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，．
（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R²，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	102.28	36.19

附：若随机变量，则，；
样本（）的最小二乘估计公式为，；
相关指数．
参考数据：，，，．

8 . 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长．针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线．已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准．为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值，并分成以下组：，，…，，其统计结果及产品等级划分如下表所示：

质量指标值
产品等级	级	级	级	级	废品
频数

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：
（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．求的值；
（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：（）

质量指标值
利润

假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由．
参考数据：若随机变量，则，，，．

9 . 某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：

质量指标值
频数	16	30	40	10	4

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示

质量指标值k
利润y				t

假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.

10 . 某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布．
（1）一顾客随机购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于的“糖心苹果”的概率；
参考数据：若随机变量，则，；，）
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2011年至2020年，该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2021年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，．
根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；然后根据下列表格中的数据，比较两种模型的，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	102.28	36.19

参考公式及数据：样本的最小二乘估计公式为：，；；，．