名校
解题方法
1 . 盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
(1)求取到2个标有数字1的球的概率；
(2)设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
(1)求取到2个标有数字1的球的概率；
(2)设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
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2023-08-25更新
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325次组卷
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3卷引用：黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题（已下线）第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（练习）甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2024届高三上学期第一次模拟考试数学试题
名校
解题方法
2 . 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．
号球槽，该商品可立减
元，其中
．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）
(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量
，则
的分布列为
，
．
．
号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量
，则的分布列为，．．
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2023-06-03更新
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1092次组卷
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11卷引用：广东省深圳外国语学校2023届高三上学期第一次月考（入学测试）数学试题
广东省深圳外国语学校2023届高三上学期第一次月考（入学测试）数学试题广东省深圳外国语学校2024届高三上学期第一次月考（入学考试）数学试题河南省新乡市长垣市2022-2023学年高二下学期第三次联考数学试题山东省章丘区第四中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（已下线）模块二 专题4 《随机变量及其分布》单元检测篇 A基础卷（人教A)江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高二下学期6月期末模拟数学试题（已下线）模块二 专题2《概率》单元检测篇 A基础卷（北师大2019版)（已下线）模块二 专题3《概率》单元检测篇 A基础卷（苏教版)吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县九台区第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）【一题多变】高尔顿板 二项分布【江苏专用】专题06概率与统计(第三部分)-高二下学期名校期末好题汇编
名校
解题方法
3 . 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示
(2)从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长小于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望
；
(3)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为
，
，
，试比较，，的大小．（只需写出结论）
(2)从2011年至2020年中任选两年，设
为选出的两年中动画影片时长小于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；(3)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为
，，，试比较，，的大小．（只需写出结论）
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2022-11-22更新
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267次组卷
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2卷引用：北京市西城区第一六一中2021-2022学年高三下学期开学数学试题
名校
解题方法
4 . 某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为
，至少一科考试优秀的概率为
，数学考试达到优秀的概率为
，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．
(1)求小明语文考试达到优秀的概率；
(2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．
，至少一科考试优秀的概率为，数学考试达到优秀的概率为，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．(1)求小明语文考试达到优秀的概率；
(2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．
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5 . 越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动，某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天均达到10000步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”. 为了解职工的运动情况，选取了该单位120名职工某月的运动数据进行分析，结果如下：
(1)根据上表，判断是否有
的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系？
(2)从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”'徒步大赛，若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，记抽取的2人中，中年职工的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：
其中
| 运动参与者 | 运动达人 | 合计 | |
| 中年职工 | 25 | 40 | 65 |
| 青年职工 | 35 | 20 | 55 |
| 合计 | 60 | 60 | 120 |
的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系？(2)从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”'徒步大赛，若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，记抽取的2人中，中年职工的人数为
，求的分布列和数学期望. 附表及公式：
 |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |  |
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名校
解题方法
6 . 在体育课投篮测试中，规定每个学生最多有5次投球机会，若学生累计投中3次或累计3次投不中即终止投球，投中3次为合格，3次投不中则不合格，已知某同学每次投球投中的概率为
.
(1)求该同学投球3次就结束投篮测验的概率；
(2)求该同学在投篮测验中投球次数X的分布列，并求X的数学期望.
.(1)求该同学投球3次就结束投篮测验的概率；
(2)求该同学在投篮测验中投球次数X的分布列，并求X的数学期望.
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名校
7 . 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程
；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若
大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为
，
，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：
，
．
大学 | A大学 | B大学 | C大学 | D大学 |
2022年毕业人数x（千人） | 7 | 6 | 5 | 4 |
2022年考研人数y（千人） | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |
；(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若
大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．参考公式：
，．
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2022-09-21更新
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1561次组卷
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7卷引用：浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2023届高三上学期第一次联考数学试题
浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2023届高三上学期第一次联考数学试题广东省广州市仲元中学2023届高三上学期9月月考数学试题（已下线）专题7综合闯关（提升版)（已下线）考向43 统计与统计案例（九大经典题型）-2（已下线）广东省江门市棠下中学2022-2023学年高三上学期数学试题变式题17-22（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（题型专训）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）
8 . 为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了
人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：
(1)若此次调查问卷的得分
服从正态分布
，
近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求
；
(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取
次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：
如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.
（i）求
时的概率；
（ii）证明：
.
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别 |
|
|
|
|
|
频数 |
|
|
|
|
|
服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于
的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元 |
|
|
|
|
|
|
|
，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求
时的概率；（ii）证明：
.参考数据：若随机变量
服从正态分布，则，，.
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9 . 暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：
将学生日均晨读时间在
上的学生评价为“晨读合格”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，依据
的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 日均晨读时间/分钟 |  |  |  |  |  |  |
| 人数 | 5 | 10 | 25 | 50 | 50 | 60 |
上的学生评价为“晨读合格”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，依据的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？| 项目 | 晨读不合格 | 晨读合格 | 合计 |
| 高二 | |||
| 高三 | 15 | 100 | |
| 合计 |
，求的分布列和数学期望.参考公式：
，其中.参考数据：
 |  | |  | | |
 | | | | | |
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2022-09-14更新
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320次组卷
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2卷引用：河北省邯郸市2023届高三上学期摸底数学试题
名校
解题方法
10 . 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线
的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；
(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，
的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；
(2)设
为本次测试中乙的得分，求的分布列，
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