名校
解题方法
1 . 为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.
(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.
（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；
（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为
，求的分布列和数学期望.
(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）
（参考数据：
，
，
，
）
(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.
（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；
（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为
，求的分布列和数学期望.(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）
（参考数据：
，，，）
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2023-08-09更新
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636次组卷
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2卷引用：重庆市南开中学校2024届高三上学期7月月考数学试题
名校
2 . 某校为了解高三年级1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古诗文”测试．现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前
，则可获得“优秀奖”．
(1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答，游戏进入下一轮．每答对一道“默写”题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题．现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为
，当答题时，甲、乙、丙答对“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：
①求第一轮结束时，乙的得分的分布列和期望；
②求第三轮仍由甲出题的概率．
，则可获得“优秀奖”． (1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答，游戏进入下一轮．每答对一道“默写”题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题．现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为
，当答题时，甲、乙、丙答对“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 背诵 |  |  |  |
| 默写 | | | |
的分布列和期望；②求第三轮仍由甲出题的概率．
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名校
解题方法
3 . 为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：
假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为
（
）.
(1)根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为度，求的分布列和期望
（用表示）.
(2)根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a元，不开空调的每日平均用电费用为b元，分别求a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y元，求Y的分布列和期望
（用p表示）.
(3)如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p的取值范围为多少?
假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为
（）.(1)根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为
度，求的分布列和期望（用表示）.(2)根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a元，不开空调的每日平均用电费用为b元，分别求a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y元，求Y的分布列和期望
（用p表示）.(3)如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为
；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p的取值范围为多少?
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名校
解题方法
4 . 本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求的分布列及数学期望
.
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求的分布列及数学期望.
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2023-06-05更新
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318次组卷
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2卷引用：重庆市第八中学校2024届高三上学期暑期测试数学试题
名校
解题方法
5 . 有一种水果，在成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为
，
，
．
(1)现随机取三箱该水果，求三箱水果中坏果总数恰有2个的概率；
(2)现随机打开一箱该水果，并从中任取2个，设X为坏水果的个数，求X的分布列及期望．
，，．(1)现随机取三箱该水果，求三箱水果中坏果总数恰有2个的概率；
(2)现随机打开一箱该水果，并从中任取2个，设X为坏水果的个数，求X的分布列及期望．
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2023-03-13更新
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1107次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学校2023届高三第七次质量检测数学试题
名校
解题方法
6 . 2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和
；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和
，其中
．
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为
，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・
和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为
，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为
，求的分布列・
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2023-03-11更新
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1050次组卷
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4卷引用：重庆市第八中学2023届高三适应性月考（六）数学试题
名校
解题方法
7 . 自2021年始，我市高考综合改革整体实施，普通高校招生统一考试实施“
”考试，“3”指全国统一考试语文、数学、外语3科．其中数学考试中的第9题到第12题这4道选择题为多项选择题，其评分规则为选项中有多项符合题目要求，若全部选对的得5分，若有选错的得0分，若部分选对的得2分．已知考生甲做多项选择题时，每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为0.3，0.2，0.5，且每道题的作答情况相互独立．设考生甲做4道多项选择题的总得分为随机变量．
(1)求
的概率；
(2)已知考生甲第9题全部选对，第10题部分选对，求随机变量的分布列与期望．
”考试，“3”指全国统一考试语文、数学、外语3科．其中数学考试中的第9题到第12题这4道选择题为多项选择题，其评分规则为选项中有多项符合题目要求，若全部选对的得5分，若有选错的得0分，若部分选对的得2分．已知考生甲做多项选择题时，每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为0.3，0.2，0.5，且每道题的作答情况相互独立．设考生甲做4道多项选择题的总得分为随机变量．(1)求
的概率；(2)已知考生甲第9题全部选对，第10题部分选对，求随机变量
的分布列与期望．
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解题方法
8 . 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1)记事件
表示“第
只飞出笼的是苍蝇”，
，
，
，
，求
；
(2)求的分布列和数学期望.
表示笼内还剩下的果蝇的只数.(1)记事件
表示“第只飞出笼的是苍蝇”，，，，，求；(2)求
的分布列和数学期望.
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解题方法
9 . 中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在A队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛（有必要才进行第二场），如果需要第五场比赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.
(1)第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；
(2)每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为，求的分布列与期望，
，在客场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.(1)第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；
(2)每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为
，求的分布列与期望，
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解题方法
10 . 经国务院批准，自1998年起，每年9月第三周为全国推广普通话宣传周（以下简称推普周）．今年9月12日至18日为第25届推普周，并以“推广普通话，喜迎二十大”为主题．某校在“二十大”前夕举行了推普知识竞赛，设置了甲、乙两类问题各2道，参赛者需要答完四道题．小明同学回答甲类每题的正确率为，回答乙类每题的正确率为，且各道题作答情况互不影响．
(1)求小明两类问题各答对1道的概率；
(2)求小明答对题目总数的分布列与期望．
，回答乙类每题的正确率为，且各道题作答情况互不影响．(1)求小明两类问题各答对1道的概率；
(2)求小明答对题目总数
的分布列与期望．
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