名校
1 . 新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫（即0、1、6月龄），假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10μg/次剂量组与20μg/次剂量组，试验结果如下：
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关？
（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.
参考公式：
，其中
参考附表：
| 接种成功 | 接种不成功 | 总计（人） | |
| 10μg/次剂量组 | 900 | 100 | 1000 |
| 20μg/次剂量组 | 973 | 27 | 1000 |
| 总计（人） | 1873 | 127 | 2000 |
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关？
（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.
参考公式：
，其中参考附表：
 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2020-06-16更新
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390次组卷
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4卷引用：山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模）数学试题
山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模）数学试题（已下线）专题十一 概率与统计-山东省2020二模汇编（已下线）第08章 成对数据的统计分析（B卷提高卷）-2020-2021学年高二数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版）江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
2 . 在习总书记提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位
（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．
（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位
的概率（结果用分数表示）；
（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当
时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当
时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：
方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；
方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；
方案三：不采取措施；
试问哪种方案更好，请说明理由．
（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．
（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位
的概率（结果用分数表示）；（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当
时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；
方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；
方案三：不采取措施；
试问哪种方案更好，请说明理由．
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解题方法
3 . 某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是3000元/台，乙型价格是2000元/台，这两型产品使用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于2年的概率是
，乙型产品使用寿命低于2年的概率是
.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换.
(1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率；
(2)该校有购买该种设备的两种方案，
方案：购买甲型3台；
方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？
，乙型产品使用寿命低于2年的概率是.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换.(1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率；
(2)该校有购买该种设备的两种方案，
方案：购买甲型3台；方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？
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解题方法
4 . 随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为
，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.
(1)若
，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；
(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：
方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；
请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由.
，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.(1)若
，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：
方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；
请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由.
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名校
解题方法
5 . 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.
（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位的概率（结果用分数表示）；
（Ⅱ）该河流对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失10000元；当
时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采用措施：试比较哪种方案较好，并说明理由.
（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位
的概率（结果用分数表示）；（Ⅱ）该河流对沿河
企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失10000元；当时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采用措施：试比较哪种方案较好，并说明理由.
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2016-12-04更新
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777次组卷
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3卷引用：2016届贵州省贵阳六中高三5月高考模拟理科数学试卷
名校
解题方法
6 . 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为
，假设每次做实验是否成功相互独立.
(1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；
(2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，
方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；
方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.
若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?
或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立.(1)小李每次都随机等可能的从实验
与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；(2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，
方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验
或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验
或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?
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解题方法
7 . 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为
：发送1时，收到0的概率为
，收到1的概率为
.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)已知接收的信号为1，且
，求发送的信号是0的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.
，收到0的概率为：发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的.(1)已知接收的信号为1，且
，求发送的信号是0的概率；(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.
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2024-04-04更新
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1770次组卷
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3卷引用：广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷
解题方法
8 . 第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为.假设各局比赛结果相互独立.
(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
(2)设比赛进行的总局数为，求的分布列和数学期望；
(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
.假设各局比赛结果相互独立.(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
(2)设比赛进行的总局数为
，求的分布列和数学期望；(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
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9 . 某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为
.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
(1)如果新药有效，把治愈率提高到了
，求经试验认定该药无效的概率
；（精确到0.001，参考数据：
）
(2)根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.
.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.(1)如果新药有效，把治愈率提高到了
，求经试验认定该药无效的概率；（精确到0.001，参考数据：）(2)根据（1）中
值的大小解释试验方案是否合理.
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2023高三·全国·专题练习
10 . 甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为
，甲赢的概率为
，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比
分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率
，并判断当
时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于
，则称随机事件为小概率事件）
，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
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