名校
1 . 王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为
，求
；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记
为王老师第
天坐地铁去学校的概率，求
的通项公式.
| 到校时间 | 7：30之前 | 7：30-7：35 | 7：35-7：40 | 7：40-7：45 | 7：45-7：50 | 7：50之后 |
| 乘地铁 | 0.1 | 0.15 | 0.35 | 0.2 | 0.15 | 0.05 |
| 乘汽车 | 0.25 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.05 |
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为
，求；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记
为王老师第天坐地铁去学校的概率，求的通项公式.
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2023-11-27更新
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2154次组卷
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8卷引用：2024届河北省承德市部分高中二模数学试题
2024届河北省承德市部分高中二模数学试题重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（已下线）微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）（已下线）黄金卷05（已下线）第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题（已下线）第29题 概率压轴大题（1）（高三二轮每日一题） 江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题
名校
解题方法
2 . 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如146，369，567等）.
(1)从1，2，3，4，5这五个数中，任取三个数组成一个三位递增数，求这个数能被5整除的概率.
(2)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积既不能被3整除，又不能被5整除，参加者得0分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已知甲参加该活动，求甲得分X的分布列和数学期望.
(1)从1，2，3，4，5这五个数中，任取三个数组成一个三位递增数，求这个数能被5整除的概率.
(2)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积既不能被3整除，又不能被5整除，参加者得0分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已知甲参加该活动，求甲得分X的分布列和数学期望.
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2023-07-14更新
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184次组卷
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4卷引用：河北省承德市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
3 . “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按
，
，
，
，
分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，
近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数
，样本分数的方差
.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数.
参考公式：若随机变量Z服从正态分布，则
，
，
.
参考数据：
.
，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y服从正态分布
，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数，样本分数的方差.已知该校教职工共有1000人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数.参考公式：若随机变量Z服从正态分布
，则，，.参考数据：
.
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2023-07-14更新
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138次组卷
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2卷引用：河北省承德市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
解题方法
4 . 某制造企业从生产的产品中随机抽查了1000件，经检验，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件.若销售1件该产品，一等品的利润为200元，二等品的利润为100元，次品直接销毁，亏损200元.
(1)用样本估计总体，估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值.
(2)根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量
（万件）与月份编号（记2021年12月，2022年1月，
编号分别为
近似满足关系式
，相关统计量的值如下：
.根据所给的统计量，求关于
的回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元.（结果精确到
）
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
(1)用样本估计总体，估计该制造企业随机销售1件产品的利润的期望值.
(2)根据统计，该制造企业在2021年12月至2022年5月的产量
（万件）与月份编号（记2021年12月，2022年1月，编号分别为近似满足关系式，相关统计量的值如下：.根据所给的统计量，求关于的回归方程，并估计该制造企业2022年8月份的利润为多少万元.（结果精确到）附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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名校
解题方法
5 . 袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为
，求的分布列、期望
和方差
.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为
，求的分布列、期望和方差.
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2021-10-27更新
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464次组卷
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6卷引用：河北省承德第一中学2020-2021学年高二下学期第三次（6月）月考数学试题
名校
解题方法
6 . 假定某射手每次射击命中目标的概率为
.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为.
（1）求的概率分布；
（2）分别求均值和方差
.
.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为.（1）求
的概率分布；（2）分别求均值
和方差.
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2020-07-15更新
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138次组卷
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2卷引用：河北省承德市双滦区实验中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为
，第二次投篮命中的概率为
，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为
．
（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；
（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望．
，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为．（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；
（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量
，求的概率分布及数学期望．
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2020-04-14更新
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281次组卷
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2卷引用：河北省承德市第八中学2020-2021学年高二下学期第二次阶段考试数学试题
8 . 某高校随机抽取部分男生测试立定跳远，将成绩整理得到频率分布表如表，测试成绩在220厘米以上（含220厘米）的男生定为“合格生”，成绩在260厘米以上（含260厘米）的男生定为“优良生”．
（1）求参加测试的男生中“合格生”的人数．
（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．
分组（厘米） | 频数 | 频率 |
[180，200） | 0.10 | |
[200，220） | 15 | |
[220，240） | 0.30 | |
[240，260） | 0.30 | |
[260，280） | 0.20 | |
合计 | 1.00 |
（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．
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名校
9 . 手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？
（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：
．
| 年龄段 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
| 频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
| 使用人数 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
| 年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | |
| 使用手机支付 | ||
| 不使用手机支付 |
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
．
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2019-10-05更新
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1163次组卷
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4卷引用：河北省承德第一中学2020届高三9月月考数学试题（理）
名校
10 . 有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试的次数
的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.
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2019-09-30更新
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2251次组卷
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8卷引用：河北省承德第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题
