名校
1 . 近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：
(1)完善表中数据并判断能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为
，求的分布列、数学期望
和方差
．
附：
，
．
首选志愿为师范专业 | 首选志愿为非师范专业 | 总计 | |
女性 | 25 | 35 | |
男性 | 25 | ||
总计 |
(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为
，求的分布列、数学期望和方差．附：
，．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
2 . 某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，
）的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．
(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，
）的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
| 日需求量n | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
| 频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．
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2023-03-02更新
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509次组卷
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3卷引用：重庆市渝东九校联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题
重庆市渝东九校联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题河北省石家庄市第四十一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）拓展二：离散型随机变量的分布列与数字特征11种常见考法归类（1）
名校
3 . 随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则
，其中
为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件
的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数
.在一次抽奖游戏中，有
个不透明的箱子依次编号为
，编号为
的箱子中装有编号为
的
个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为
的箱子中抽取的小球号码为
，并记
.对任意的，是否总能保证
（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量
满足
，则有
.
为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数
.在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球.主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记.对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量
满足，则有.
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2022-10-03更新
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1918次组卷
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7卷引用：重庆市北碚区2023届高三上学期10月月度质量检测数学试题
重庆市北碚区2023届高三上学期10月月度质量检测数学试题湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题（已下线）专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-1（已下线）7.3 离散型随机变量的数字特征（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第二篇 函数与导数专题5 切比雪夫、帕德逼近 微点3 切比雪夫函数与切比雪夫不等式（已下线）每日一题 第15题 期望方差 回归定义（高三）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）
名校
4 . 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?
(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从
市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好
时的概率（不用化简）及Y的方差.
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?
(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数
的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从
市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.
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2022-05-23更新
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1371次组卷
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3卷引用：重庆外国语学校(四川外国语大学附属外国语学校)2021-2022学年高二下学期5月月考数学试题
解题方法
5 . 甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲得1分；如果甲输而乙赢，甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；
(3)Y的均值和方差.
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；
(3)Y的均值和方差.
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2022-05-16更新
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381次组卷
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3卷引用：重庆市万州纯阳中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（C卷）试题
重庆市万州纯阳中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（C卷）试题（已下线）7.3.2离散型随机变量的方差(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）广东省茂名市信宜市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
解题方法
6 . 为评估设备
生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本直径的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（
表示相应事件的概率）；
；
；
.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于
或直径大于
的零件认为是次品.从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数
的概率分布列和数学期望
及方差
.
生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：| 直径/mm | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 合计 |
| 个数 | 2 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 31 | 16 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 100 |
，标准差，以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为
，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；；；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.(2)将直径小于等于
或直径大于的零件认为是次品.从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望及方差.
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2022-05-05更新
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405次组卷
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2卷引用：重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二下学期5月质量检测数学试题
解题方法
7 . 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量
，
，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于
环，且甲射中
，
，
，
环的概率分别为
，
，
，，乙射中，，环的概率分别为
，，
.
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于环，且甲射中，，，环的概率分别为，，，，乙射中，，环的概率分别为，，.(1)求
，的分布列；(2)求
，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
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2022-04-21更新
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804次组卷
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4卷引用：重庆市名校联盟2021-2022学年高二下学期第一次联合考试数学试题
重庆市名校联盟2021-2022学年高二下学期第一次联合考试数学试题重庆市万州纯阳中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（B卷）试题（已下线）第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精讲）（已下线）7.3.2离散型随机变量的方差(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
8 . 近两年，新冠疫情给人们的生活带来了极大的改变，各国的科学家对该病毒进行研究，取得了不错的进展.对新冠的研究，有病理上的研究和统计学上的研究.某统计学家对20000份核酸检测呈阳性的病人进行追踪统计，得到如下统计表：
由于统计的样本足够多，所以上述频率可以看成其发生的概率.
(1)用随机变量
表示事件无症状，
表示事件轻症状，
表示事件重症状，
表示事件病危，求随机变量X的分布列，并求其期望和方差；
(2)新冠疫苗的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治愈的概率.
| 无症状人数 | 轻症状人数 | 重症状人数 | 病危人数 | 合计 | |
| 人数 | 4000 | 8000 | 6000 | 2000 | 20000 |
| 治愈率 | 100% | 95% | 80% | 60% |
(1)用随机变量
表示事件无症状，表示事件轻症状，表示事件重症状，表示事件病危，求随机变量X的分布列，并求其期望和方差；(2)新冠疫苗的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治愈的概率.
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2022-04-17更新
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512次组卷
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3卷引用：重庆市第一中学校2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
9 . 重庆市第11中学校为迎接110周年校庆，要美化校园，现在要把6棵花苗分种在3个花坛内，每个花坛种2棵，每棵花苗成活的概率为0.5；若一个花坛内至少有1棵花苗成活，则这个花不需要补种，若一个花坛里的花苗都没成活，则这个花坛需要补种，假定每个花坛至多补种一次，每补种1个花坛需10元.
(1)求恰好有两个花坛需要补种的概率；
(2)用表示补种费用，求的分布列及数学期望和方差.
(1)求恰好有两个花坛需要补种的概率；
(2)用
表示补种费用，求的分布列及数学期望和方差.
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名校
解题方法
10 . 伴随着2022年北京冬奥会成功举办，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领着相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况：
(1)求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；
(2)根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：
视频率为概率，任取1年的销售总额，记所取该年的销售总额为，求的数学期望
及方差
.
(1)求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；
(2)根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：
| 滑雪人次（万人次） |  |  |  |  | 2000以上 |
| 销售总额（亿元） | 3.5 | 4 | 4.8 | 5.2 | 6 |
，求的数学期望及方差.
您最近一年使用：0次
2022-03-18更新
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881次组卷
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3卷引用：重庆市育才中学2022届高三下学期3月月考数学试题
