2 . 如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．

根据上图可知，第3个图形的边长为________，第4个图形的周长为________．

3 . 在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘浮在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的科克曲线（Koch）组成．科克曲线（Koch）（如图）是一种典型的分形曲线．它是科克（Koch，H.von）于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形．取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的变得比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，记为第n个图形的面积，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
   
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（     ）

A．289

B．1024

C．1225

D．1378

6 . 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：为正整数，当时，当为偶数时，当为奇数时，则数列中必存在值为1的项.若，则的所有不同值的个数为（       ）

A．2

B．3

C．5

D．8

7 . 设是从，0，1这三个整数中取值的数列，若，且，则中数字0的个数为________ .

8 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则

A．1

B．2

C．4

D．8

9 . 某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.
①.
②.
③.
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

10 . 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把…这样的数称为“三角形数”， 而把… 这样的数称为“正方形数”．如图,可以发现任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①；②；③；④中符合这一规律的等式是________．（填写所有正确结论的编号）
……