解题方法
1 . 若椭圆的方程为
，点
分别是椭圆上关于原点对称的两点，点
是椭圆上不同于点
和
的任意一点．若直
与
的斜率都存在，分别记为
，那么
与
之积是与点无关的定值
．试对双曲线
写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．
，点分别是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上不同于点和的任意一点．若直与的斜率都存在，分别记为，那么与之积是与点无关的定值．试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．
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2 . 已知三角形
的三边长分别为
，内切圆半径为
，面积为
，则
对于四面体
的四个面的面积分别为
，内切球半径为
，体积为
.
（1）通过类比，你能得出怎样的结论？
（2）证明你得到的结论.
的三边长分别为，内切圆半径为，面积为，则对于四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，体积为.（1）通过类比，你能得出怎样的结论？
（2）证明你得到的结论.
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解题方法
3 . 开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体
中棱
，
，
两两垂直，那么称四面体为直角四面体．请类比直角三角形（
表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体中的两个性质，并给出证明．
中棱，，两两垂直，那么称四面体为直角四面体．请类比直角三角形（表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体中的两个性质，并给出证明．| 直角三角形 | 直角四面体 | |
| 条件 |  |  ， ， |
| 结论1 |  | |
| 结论2 |  |
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名校
4 . 双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线
（
，
），有下列性质：若
是双曲线（，）不平行于对称轴且不过原点的弦，
为的中点，
为坐标原点，则
为定值，椭圆也有类似的性质．若是椭圆不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，猜想
的值，并证明．
（，），有下列性质：若是双曲线（，）不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，则为定值，椭圆也有类似的性质．若是椭圆不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，为坐标原点，猜想的值，并证明．
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2021-03-24更新
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276次组卷
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5卷引用：河南省2020-2021学年高二年级阶段性测试（三）理科数学试题
河南省2020-2021学年高二年级阶段性测试（三）理科数学试题（已下线）第二章 推理与证明【专项训练】-2020-2021学年高二数学（文）下学期期末专项复习（人教A版选修1-2）山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学（理）试题山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题陕西省安康市汉滨区七校2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题
5 . （1）如左图，已知是
内任意一点，连接
，
，
并延长交对边于
，
，
，则
．请证明该结论；
（2）请运用类比思想，对于空间中的四面体
，如右图所示，存在什么类似结论？并证明你的结论．
是内任意一点，连接，，并延长交对边于，，，则．请证明该结论；（2）请运用类比思想，对于空间中的四面体
，如右图所示，存在什么类似结论？并证明你的结论．
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名校
6 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①
②
③
④
⑤
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明这个结论．
①
②③
④⑤
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明这个结论．
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2020-05-04更新
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43次组卷
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2卷引用：安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学(文)试题
7 . 在证明命题“对任意两个实数
，若
，则
的取值范围是
”时，我们可以构造函数
，因为
，所以
对任意实数
都成立，所以
，所以
，则的取值范围是，类比上述的方法，若
个实数
满足
时，能得到
的取值范围是（ ）
，若，则的取值范围是”时，我们可以构造函数，因为，所以对任意实数都成立，所以，所以，则的取值范围是，类比上述的方法，若个实数满足时，能得到的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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8 . 如图，已知点是内任意一点，连接
、
、
，并延长交对边于
、
、
，则
，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点是空间四面体
内的任意一点，连接、、、
，并延长分别交面
、
、
、于点、、、
，试写出结论，并加以证明.
是内任意一点，连接、、，并延长交对边于、、，则，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点是空间四面体内的任意一点，连接、、、，并延长分别交面、、、于点、、、，试写出结论，并加以证明.
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名校
解题方法
9 . 命题“在
中,若
,
、
、
所对应的边长分别为
,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
中,若,、、所对应的边长分别为,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
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2020-03-04更新
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269次组卷
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2卷引用：山西省太原市第五中学2018-2019学年高二下学期阶段性测试（4月）数学(理)试题
名校
10 . 如果
，且
，那么
，证明过程如下:证明:构造函数
，则
，因为对一切
，恒有
，所以
，从而得
用与上述不同的方法证明命题
；
若
，且
，请写出命题
的推广结论.(无需证明)
，且，那么，证明过程如下:证明:构造函数，则，因为对一切，恒有，所以，从而得用与上述不同的方法证明命题；若，且，请写出命题的推广结论.(无需证明)
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