1 . 已知函数，（其中，且），
（1）若，求实数k的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．

2 . 汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a_n.

（1）试写出a₁，a₂，a₃，a₄值，并猜想出a_n；（无需给出证明）
（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b_n＝n²这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较a_n与b_n的大小，并用数学归纳法加以证明.

3 . 已知点的序列A_n(x_n,0),n∈N^*,其中x₁=0,x₂=a(a>0),A₃是线段A₁A₂的中点,A₄是线段A₂A₃的中点,……,A_n是线段A_n-2A_n-1的中点,……
(1)写出x_n与x_n-1,x_n-2之间的关系式(n≥3);
(2)设a_n=x_n+1-x_n,计算a₁,a₂,a₃,由此推测数列{a_n}的通项公式,并加以证明.

4 . 编辑一个运算程序：，，．
(1)设，求；
(2)由（1）猜想的通项公式；
(3)用数学归纳法证明你的猜想．

5 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

6 . 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．

（1）求出；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
（3）求的值．

7 . 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③.
（1）请从以上三个式子中任选一个，根据，，，验证其正确性(注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明之.

8 . 已知点列，，其中，（），是线段的中点，是线段的中点，…是线段的中点，…
（Ⅰ）写出与、之间的关系式（）；
（Ⅱ）设，计算、、，由此推测数列的通项公式，并加以证明．

9 . 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．

（1）当k=4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

10 . 已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值（不必证明）