1 . 欧拉公式（为虚数单位，）可以表示平面直角坐标系内的动点，其轨迹是圆，所以又称其为神奇的欧拉转盘.若表示的动点为.
(1)写出动点的轨迹的参数方程（为参数），并化为普通方程；
(2)在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线过，，求直线被截得的线段的长.

2 . 数学中有许多美丽的曲线，例如曲线，（t为参数）的形状如数字8（如图），动点A，B都在曲线E上，对应参数分别为与，设O为坐标原点，．

(1)求C的轨迹的参数方程；
(2)求C到坐标原点的距离d的最大值和最小值．

3 . 已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数).
(1)求曲线​的轨迹方程，并判断轨迹的形状;
(2)设​为曲线​上的动点，且有​，求​的取值范围.

4 . 如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．

(1)当时，求点M的极坐标；
(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．

5 . 已知F是曲线（为参数）的焦点，则定点与点F之间的距离______．