【推荐1】水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）、潜水员在潜人水下的过程中速度为，每分需氧量与速度平方成正比（当速度为时，每分需氧量）；在湖底工作时，每分需氧量为；返回水面时，速度也为，每分需氧量为．若下潜与上浮时速度不能超过，潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数）

   

【推荐2】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

【推荐3】“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

【推荐1】已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与的准线交于点．
（1）若直线经过点，且，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，且．
①证明：直线经过定点，并求出定点的坐标；
②求的最小值．

【推荐2】对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.
（1）函数，是否为的生成函数？说明理由；
（2）设，，当时生成函数，求的对称中心（不必证明）；
（3）设，，取，，生成函数，若函数的最小值是5，求实数的值.

【推荐3】已知.
(1)证明：；
(2)若，求的最大值.