【推荐1】在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率.

【推荐2】某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行“消防安全知识测试”，并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识“达标”；否则该年级知识“不达标”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7．
(1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识是否“达标”？
(2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做某道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【推荐3】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．

【推荐1】专家组发现新型冠状病毒存在人与人之间的传染，我们把与患者有过密切接触的人称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为X，假设每位密切接触者不再接触其他患者．
(1)求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；
(2)设每位患者在被感染后的第二天有位密切接触者，若某一名患者被感染（感染当天按第1天算），则第二天新增被感染患者的期望为，被感染患者总数的期望为，按此规律，第三天被感染患者总数的期望为，…，第天被感染患者总数的期望为．记第天新增患者的期望（）．为降低密切接触者患病概率，现要求疫情期间出行佩戴口罩．若戴口罩后的患病概率，（取）．
①求的值使达到最大，并计算此时所对应的值；
②若未佩戴口罩，计算①问中的对应的值．根据计算结果说明戴口罩的必要性．
（结果保留整数，参考数据：，，，，）

【推荐3】市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：

某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）
（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；
（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.