22. 中国著名科幻作家刘慈欣在其作品《人间大炮》中展现了前人所提出的“地心隧道”设想,即开通一条穿过地心的笔直隧道,如图所示.下面是《人间大炮》中的一段文字:
沈华北的本意是想把话题从政治上引开去,他成功了,贝加纳来了兴趣:“沈,你的思维方式总是与众不同……让我们看看:我跳进去(指跳进地心隧道)后会一直加速,虽然我的加速度会随坠落深度的增加而减小,但确实会一直加速到地心,通过地心时我的速度达到最大值,加速度为零;然后开始减速上升,这种减速度的值会随着上升而不断增加,当到达地球的另一面阿根廷的地面时,我的速度正好为零.如果我想回中国,只需从那面再跳下去就行了,如果我愿意,可以在南北半球之间做永恒的简谐振动,嗯,妙极了,可是旅行时间……”假设地球质量分布均匀地球半径为
R,地表附近重力加速度为
g,物体从隧道口由静止释放,不计空气阻力,请完成以下问题
(1)指出物体做简谐运动的平衡位置.(不需证明)
(2)已知均匀球壳对壳内物体引力为零,请证明物体在地心隧道中的运动为简谐运动.
(3)做简谐运动的物体回复力为
F=-
kx,其周期为
,其中
m为物体的质量,请求出物体从隧道一端静止释放后到达另一端需要多少分钟.(地球半径
R=6400km,地表重力加速为
g=10m/s
2,
π=3.14,最终结果请保留一位小数)