【推荐1】红绿灯的设置对指挥城市路口交通影响很大。某城市道路汽车行驶限速，如图是该市一个十字路口前红灯时的情况，第一辆车的车头与停止线平齐，该路口绿灯时间是，已知每辆车长均为，绿灯亮后，每辆汽车都以加速度匀加速到最大限速，然后做匀速直线运动；为保证安全，前后两车相距均为，绿灯亮时第一辆车立即启动，由于人的反应时间和安全考虑每后一辆车启动相对前一辆车均延后。交通规则：黄灯亮时，只要车头过停止线就可以通行，而且有按倒计时显示的时间显示灯。假设此车道排队等待绿灯的车辆足够多，试回答关于此车道车辆运动的以下问题：
（1）绿灯亮后，求经过多长时间停止线后第3辆车车头到达停止线；
（2）在本次绿灯亮时间内共多少辆汽车通过？
（3）若黄灯亮时未过线的第一辆车，在绿灯倒计时显示灯刚亮出“3”时开始刹车做匀减速运动（），结果车的前端与停车线相齐时刚好停下，求刹车时（视为匀变速运动）汽车加速度的大小。并求此车停止瞬间其与第一个通过绿灯的汽车车尾的距离d。

   

【推荐2】ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图，汽车以的速度行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至0，经过缴费后，再加速至行驶；如果过ETC通道，需要在中心线前方处减速至，匀速到达中心线后，再加速至行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为，求：
（1）汽车由于通过人工通道需要的时间t
（2）汽车由于通过ETC通道需要的时间
（3）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多少时间。

【推荐3】卡车车厢中装载的货物应该跟车厢固定好，以免发生事故。有一次一辆卡车只装运了一个木箱，但没有固定，当卡车沿平直公路以v₀=8m/s的速度匀速行驶时，司机发现前方有情况，立即紧急制动，制动后卡车以大小为a₁=4m/s²的加速度做匀减速运动，假定卡车制动开始，木箱就在摩擦力作用下沿车厢底板向前滑动做匀变速运动，加速度大小为a₂=2m/s²，木箱在车厢底板上滑动了L=7m后撞上车厢的前挡板。取g=10m/s²，求：
（1）木箱刚要与挡板相撞时卡车位移的大小；
（2）木箱刚要与挡板相撞时木箱速度的大小。

【推荐2】科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构如图所示：传送带AB部分水平，其长度L₁=1.344m，以v₁=1.2m/s顺时针匀速转动。大轮半径r =6.4cm，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接。圆弧轨道的半径R=0.5m，倾斜传传送带GH长为L₂=0.4m，倾角θ=37°。某同学将一质量为0.5kg的小物块轻放在水平传送带左端A处，小物块从B点离开水平传送带后，恰能从D点沿切线方向进入圆弧轨道，到达F点后，小物块以v₂=2m/s的速度滑上倾斜传送带GH。已知小物块与两段传送带的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g＝10 m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物块由A到B所经历的时间；
（2）小物块在D点对圆弧的压力大小；
（3）若要小物块能被送到H端，倾斜传动带GH顺时针运转的速度应满足的条件。

【推荐3】在2022年北京冬季奥运会上，中国运动员夺得自由式滑雪女子大跳台金牌。如图为该项比赛赛道示意图，AD段为助滑道，DO段为一半径为圆弧轨道，OB段为倾角的着陆坡。一质量为的运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，经过圆弧轨道到达起跳点O时，借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平方向成θ角（起跳角）的方向起跳，最后落在着陆坡上的某点C。已知在圆弧轨道最低点的速度为40m/s，在O点的速度大小为，不计一切摩擦和阻力，重力加速度g取。
可能用到的公式：积化和差。
（1）求运动员在圆弧轨道最低点所受到的支持力
（2）求起跳角θ为多大时落点C距O点最远？
（3）落点C距O点最远距离L为多少？
（4）在（2）问中，运动员离开雪坡的最大距离为多少？

【推荐2】光滑管状轨道由直轨道和圆弧形轨道组成，二者在处相切并平滑连接，为圆心，、在同一条水平线上，竖直．一直径略小于圆管直径的质量为的小球，用细线穿过管道与质量为的物块连接，将小球由点静止释放，当小球运动到处时细线断裂，小球继续运动．已知弧形轨道的半径为，所对应的圆心角为，、，．

（1）若，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小．
（2）若，求小球从点抛出后下落高度时到点的水平位移．
（3）、满足什么关系时，小球能够运动到点？

【推荐3】一质量为的小球用长为的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与光滑水平面上放置的小滑块b发生正碰，碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，碰后小滑块滑到并排放置在右侧光滑水平地面上的两块木板c、d上，两木板间相互接触但不粘连，木板上表面与水平面齐平，小滑块最终恰好没有离开木板d。已知：小滑块b的质量和两木板c、d的质量均为，木板c的长度为，小滑块与两木板间的动摩擦因数均为，重力加速度g取。不计空气阻力，求：
（1）小球与小滑块b碰后，小滑块b的速度大小；
（2）小滑块b从滑上c的左端到滑离c所用的时间；
（3）木板d的长度。

【推荐2】图甲是一种智能减震装置的示意图，轻弹簧下端固定，上端与质量为2m的减震环a连接，并套在固定的竖直杆上，a与杆之间的智能涂层材料可对a施加大小可调节的阻力。每次性能测试时，质量为m的b环（b环与杆无相互作用），从某高度静止释放，之后与a发生正碰；碰撞后，b的速度大小总变为碰前的倍、方向向上，然后拿走b环，a向下运动2d时速度减为零。测试初始位置，a静止在弹簧上，弹簧压缩量为2d，弹簧储存的弹性势能可用计算（k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量）。在第一次性能测试中，b从距a高h=4.5d处静止释放，调节a受到涂层的阻力大小f与下移距离S之间的关系如图乙中实线①所示。已知量m、d和重力加速度g，求：
（1）a下降过程，阻力做功W₁及弹簧弹力做功W₂；
（2）的值；
（3）将a放回初始位置进行第二次测试。调节a受到涂层的阻力与下移距离S的关系如图乙实线②所示，求b释放时，距a的高度。
   

【推荐3】如图所示，光滑的半径为的圆弧最低点与竖直墙壁AB相连，质量的小球1与长度为轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为的小滑块相连，小滑块套在光滑的水平杆上。初始轻杆紧靠墙壁竖直放置，小球1刚好处在圆弧的末端。现将质量为的小球2从圆弧上的C点由静止释放，CO连线与竖直方向的夹角为53°，小球2运动至圆弧的最低点与小球1发生弹性正碰，碰后立刻撤掉小球2。已知重力加速度的大小不计空气阻力。求
（1）小球2运动至轨道最低点与小球1碰撞前瞬间对轨道的压力大小；
（2）两球碰撞后的瞬间，小球1的速度大小；
（3）轻杆上作用力为零时，小球1的速度大小及此时轻杆与竖直方向夹角的余弦值；
（4）小球1落到水平杆上前一瞬间的速度大小。