【推荐1】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径。图（b）为一玩具轨道的模型图，倾角的倾斜轨道AB与地面水平轨道BC在B处平滑连接，“雨滴”形曲线轨道CDE左右对称，D为最高点。图（b）中圆1和圆2分别为C、D两点的曲率圆，其中D的曲率圆半径。现将质量的小滑块（可视为质点）从轨道AB上距底端处静止释放，滑块在轨道CDE内侧运动时的向心加速度恒为。重力加速度g取10m/s²，，。不计一切阻力。
（1）求C点的曲率圆半径。
（2）求曲线轨道CDE任意高度h处的曲率半径ρ与h的关系。
（3）要使滑块能顺利通过轨道CDE，且运动时的向心加速度不超过4g。求滑块在轨道AB上释放点高度H的范围。

【推荐2】如图所示，把一个质量m＝1kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1m，AB长度是1.6 m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？

【推荐3】如图所示，某游戏装置由弧形轨道AB、竖直圆轨道BMCND、水平直轨道DE平滑连接而成，固定在水平地面上（弧形轨道末端各轨道间略错开，不影响小球前行）。质量的小球从弧形轨道离地高h处由静止释放，已知圆轨道半径，取，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
（1）若，求小球到达C点时对轨道的压力；
（2）若小球从弧形轨道离地高h处由静止释放，要求小球不脱离轨道，求h需要满足的条件；
（3）若竖直圆轨道上部正中央有一段缺口MN，该缺口所对的圆心角为，可调，现将小球从距地面处无初速度释放，试论证小球能否从M点飞出后再从N点切入圆弧轨道。

【推荐1】第24届冬奥会将于2022年由北京和张家口两个城市联合举办，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，其空中翻转动作优美，深受观众喜爱。某滑道示意图如图所示，长直助滑道AB与光滑圆弧形滑道BC相切于B点，且AB与B、C两点所在水平面的夹角，助滑道AB长L=90m。圆弧滑道BC与水平安全平台CD连接，CD长x=38.4m。平台CD与曲线着陆坡DE连接，D、E两点高度差为35m。着陆坡DE下端衔接一段圆心角的圆弧轨道，圆弧轨道最低点与水平终点区FG相切。质量m=80kg（含滑板等装备）的运动员（可视为质点）从A处由静止开始自由下滑（运动员不做功），经C点飞起，恰好从D点进入曲线着陆坡DE。重力加速度，运动员在空中运动过程中可视为质点，忽略运动过程中空气的作用。
（1）滑板克服滑道AB阻力做功为多少；
（2）某次试赛中，该运动员从A处由静止开始加速下滑（运动员做功），恰从E点沿切线进入圆弧轨道，实现完美一跃。求此过程中运动员做的功。

【推荐2】某游乐场游戏装置示意图如图甲所示，水平平台上固定一竖直光滑曲面，曲面下端A切线水平，并与半径为的竖直光滑圆轨道平滑连接，质量为的物块P从光滑曲面上离平台高度为h处静止释放，先通过圆轨道后再进入平台，与质量为M=4kg的物块Q发生弹性碰撞，已知物块Q所在位置左侧平台部分长度为，这段平台与物块Q之间的动摩擦因数满足（x为物块所在平台上的位置到Q点的距离），Q右侧平台光滑。圆轨道的最高点B处有一力传感器，可以测出物块经过B点时对轨道的压力F，取不同的高度h得到相应的压力F，作出F-h关系图，如图乙所示。g=10m/s²,不计空气阻力。
（1）求图乙中a，b的值；
（2）若物块Q恰好到达C处，求的值；

【推荐3】“打水漂”是男女老少都适合体验的水上项目，将扁平的小石片在手上呈水平放置后，用力飞出，石片遇到水面后并不会直接沉入水中，而是在水面上擦水面滑行一小段距离后再弹起再飞，跳跃数次后沉入水中，即称为“打水漂”．现在有一人从岸边离水面高度为1.8m处，以8m/s的水平初速度用力飞出一质量为20g的小石片，小石片在水面上弹跳数次后沉入水底，在水面上滑行时受到的水平阻力为0.4N．假设每次小石片接触水面相同的时间0.1s后跳起，小石片在水面上滑动后在竖直方向上跳起时的速度与此时沿水面滑动的速度之比为常数k，k=0.75；小石片在水面上速度减为零后，以0.5m/s2加速度沿竖直方向沉入深为1m的水底．不计空气阻力．（取g=10m/s²）求：
(1)小石片第一次接触水面时的速度大小；
(2)小石片从开始到沉入水底的整个过程中，水对小石片做的功；
(3)小石片从抛出到沉入水底的总时间．

【推荐1】如图所示，某装置由斜面轨道、水平面轨道、光滑圆周轨道、光滑直轨道平滑连接组成，、、为连接点（、略微岔开），端有一挡板，挡板上固定有一轻弹簧，整个装置处于同一竖直平面内。质量为的滑块以某一初速度从点开始下滑，沿着轨道运动。已知，圆周轨道半径，长度，倾角，长度，物块与、间动摩擦因数均为。不计其它阻力，，。
（1）若滑块运动过程中恰好能过圆轨道最高点，求滑块压缩弹簧时能达到的最大弹性势能；
（2）要使滑块不脱离轨道，求的取值范围。

【推荐2】如图所示，竖直平面内有一固定的光滑轨道ABCD，其中AB是足够长的水平轨道，B端与半径为R的光滑半圆轨道BCD平滑相切连接，半圆的直径BD竖直，C点与圆心O等高．现有一质量为m的小球Q静止在B点，另一质量为2m的小球P沿轨道AB向右匀速运动并与Q发生对心碰撞，碰撞后瞬间小球Q对半圆轨道B点的压力大小为自身重力的7倍，碰撞后小球P恰好到达C点．重力加速度为g．

（1）求碰撞前小球P的速度大小；
（2）求小球Q离开半圆轨道后落回水平面上的位置与B点之间的距离；
（3）若只调节光滑半圆轨道BCD半径大小，求小球Q离开半圆轨道D点后落回水平面上的位置与B点之间的距离最大时，所对应的轨道半径是多少？

【推荐3】我国于2022年在北京举办冬奥会，滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道截面如图所示，长直助滑道AB的倾角为53°，A与B的竖直高度差H＝36m；助滑道末端与一半径为R的圆弧滑道BCD平滑连接相切于B点；圆弧滑道与水平面MN相切于C点，B点距水平面的高度h＝5m，B、D两点关于竖直半径OC对称。运动员及滑雪板的总质量m＝60kg，运动员及滑雪板从A处由静止滑下，经BCD后从D点飞出，最后落到水平面MN上。已知运动员到达B点的速度v_B＝24m/s，经过D点时对轨道的压力大小为总重力的3.8倍。不计空气阻力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g＝10m/s²。求：
（1）运动员及滑雪板在助滑道AB上所受的阻力大小；
（2）运动员及滑雪板从B点到D点的过程中损失的机械能；
（3）运动员及滑雪板落到水平面MN上的位置到D点的水平距离。