类比是研究问题的常用方法。
(1)情境1:如图1所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动,小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程描述,其中xm为小球相对平衡位置O时的最大位移,m为小球的质量,k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图,并借助F-x图像证明弹簧的弹性势能。
(2)情境2:如图3所示,把线圈、电容器、电源和单刀双掷开关连成电路。先把开关置于电源一侧,为电容器充电,稍后再把开关置于线圈一侧,组成LC振荡电路,同时发现电容器极板上电荷量q随时间t的变化规律与情境1中小球位移x随时间t的变化规律类似。已知电源的电动势为E,电容器的电容为C,线圈的自感系数为L。
a、类比情境1,证明电容器的电场能;
b、类比情境1和情境2,完成下表。
(1)情境1:如图1所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动,小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程描述,其中xm为小球相对平衡位置O时的最大位移,m为小球的质量,k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图,并借助F-x图像证明弹簧的弹性势能。
(2)情境2:如图3所示,把线圈、电容器、电源和单刀双掷开关连成电路。先把开关置于电源一侧,为电容器充电,稍后再把开关置于线圈一侧,组成LC振荡电路,同时发现电容器极板上电荷量q随时间t的变化规律与情境1中小球位移x随时间t的变化规律类似。已知电源的电动势为E,电容器的电容为C,线圈的自感系数为L。
a、类比情境1,证明电容器的电场能;
b、类比情境1和情境2,完成下表。
情境1 | 情境2 |
小球的位移 | |
线圈的磁场能 (i为线圈中电流的瞬时值) |
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更新时间:2022-04-02 17:29:41
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【推荐1】弹簧振子的运动是简谐运动的典型代表。如图所示,一竖直光滑的管内有一劲度系数为的轻弹簧,弹簧下端固定于地面,上端与一质量为的小球A相连,小球A静止时所在位置为。另一质量也为的小球B从距A球为的点由静止开始下落,与A球发生碰撞(时间极短)后黏连在一起,开始向下做简谐运动。小球AB第一次到达最低点(图中未标出)所用的时间为。两球均可视为质点,在运动过程中,弹簧的形变在弹性限度内,当其形变量为时,弹性势能为。已知,重力加速度为。求:
(1)B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度;
(2)小球AB一起做简谐运动的振幅。
(1)B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度;
(2)小球AB一起做简谐运动的振幅。
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名校
【推荐2】简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。
(1)如图1所示,将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上,弹簧的两端固定,中间接一质量为m的小球,此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开,小球以O为平衡位置往复运动。请你结合回复力的知识证明,小球所做的运动是简谐运动。
(2)做简谐运动的质点,其运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系可以表示为,其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度,c为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。将图1中质量为m的小球视为质点,两个轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,小球通过平衡位置O时的速度大小为v0。设小球振动位移为x时的速度为v,请你应用能量的知识证明小球的运动满足的关系,并说明常数c与哪些物理量有关。
(提示:弹簧的弹性势能可以表达为,其中k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的形变量)
(3)如图2所示,一质点以大小为v0的线速度绕O点做匀速圆周运动,半径为R0,请根据运动学知识以并结合第(2)问中的信息分析证明:做匀速圆周运动的质点在圆的直径上的分运动是简谐运动。
(1)如图1所示,将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上,弹簧的两端固定,中间接一质量为m的小球,此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开,小球以O为平衡位置往复运动。请你结合回复力的知识证明,小球所做的运动是简谐运动。
(2)做简谐运动的质点,其运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系可以表示为,其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度,c为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。将图1中质量为m的小球视为质点,两个轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,小球通过平衡位置O时的速度大小为v0。设小球振动位移为x时的速度为v,请你应用能量的知识证明小球的运动满足的关系,并说明常数c与哪些物理量有关。
(提示:弹簧的弹性势能可以表达为,其中k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的形变量)
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【推荐3】机械能包括动能、重力势能和弹性势能,如图所示的实验装置中,力传感器一端固定在固定铁架台的横梁上,另一端与轻弹簧相连,轻弹簧下端悬挂重物,把重物向下拉开适当距离由静止释放,使其在竖直方向上下运动,弹簧不超过弹性限度,不计空气阻力。实验测得的弹力大小随时间变化规律如图所示,最大拉力为Fm,最小拉力为0,周期为2T。已知重力加速度g。
(1)求重物的质量m;
(2)以运动过程的最低点为重力势能零点,定性作出重力势能随时间变化的图线;
(3)定性作出重物的动能随时间变化的图线;
(1)求重物的质量m;
(2)以运动过程的最低点为重力势能零点,定性作出重力势能随时间变化的图线;
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【推荐1】如图所示是接收无线电波的简易收音机电路图.已知L和C,当 C调至C0时,
(1)指出哪些元件组成了调谐电路,周期是多少?
(2)这时该电路能收到的无线电波波长λ是多少?
(3)元件D、C1起什么作用?
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名校
【推荐2】简谱振动是物理学中很重要的一种运动形式,不同的简谱振动现象各异,但却遵循着相似的规律。例如,一个质量为m,劲度系数为k的弹簧振子,其位移x随时间t按正余弦规律做周期性变化,周期公式是:,同时在振子周期性运动的过程中其动能和能相互转化,但总能量保持不变,即:,其中E为系统的总能量,为振子位移为x时的瞬时速度。
结合简谐振动的上述知识,通过类比的方法分析下面几个问题。
(1)如图1所示,在LC振荡电路中,电容器极板上的带电量q与电路中的电流随时间t都是按正余弦规律做周期性变化的。同时线圈储存的磁场能和电容器储存的电场能相互转化,但总能量E保持不变,即:。其中L为线圈的自感系数,C为电容器的电容。类比弹簧振子中的各物理量,电容器极板上的带电量q相当于弹簧振子中的哪个物理量?并类比简谐振动公式写出LC振荡的周期公式;
(2)如图2所示,摆长为L,小球质量为m的单摆,当最大偏角较小时,摆动过程中其摆角随时间也是按正余弦规律变化的。写出单摆摆角为、小球角速度为时系统总能量的表达式,并类比弹簧振子的规律求出单摆摆动的周期;(已知很小时,)
(3)如图3所示,长为L的轻杆(质量不计),一端可绕固定在O点的光滑轴承在竖直平面内转动,在距点为和L处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球。类比弹簧振子的规律求出系统在竖直平面内做小角度摆动时的周期。
结合简谐振动的上述知识,通过类比的方法分析下面几个问题。
(1)如图1所示,在LC振荡电路中,电容器极板上的带电量q与电路中的电流随时间t都是按正余弦规律做周期性变化的。同时线圈储存的磁场能和电容器储存的电场能相互转化,但总能量E保持不变,即:。其中L为线圈的自感系数,C为电容器的电容。类比弹簧振子中的各物理量,电容器极板上的带电量q相当于弹簧振子中的哪个物理量?并类比简谐振动公式写出LC振荡的周期公式;
(2)如图2所示,摆长为L,小球质量为m的单摆,当最大偏角较小时,摆动过程中其摆角随时间也是按正余弦规律变化的。写出单摆摆角为、小球角速度为时系统总能量的表达式,并类比弹簧振子的规律求出单摆摆动的周期;(已知很小时,)
(3)如图3所示,长为L的轻杆(质量不计),一端可绕固定在O点的光滑轴承在竖直平面内转动,在距点为和L处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球。类比弹簧振子的规律求出系统在竖直平面内做小角度摆动时的周期。
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(0.4)
解题方法
【推荐3】有些知识我们可能没有学过,但运用我们已有的物理思想和科学方法,通过必要的分析和推理可以解决一些新的问题。例如简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式,它的一个特征是质点运动时,位移与时间的关系遵从正弦函数规律,呈现出周期性,其运动的周期,式中m为振动物体的质量,k为回复力与位移间的比例系数。
(1)试证明在小角度下,单摆做简谐运动,并根据简谐运动周期的公式推导出单摆振动频率f的表达式(已知单摆的摆长为L、摆球质量为m、当地重力加速度为g);
(2)在弹吉他时,当拨动琴弦时,琴弦会发生振动,琴弦振动的频率f由琴弦的质量m、长度L和张力F共同决定,假设琴弦振动时,振幅很小,且琴弦的张力保持不变,
a.请通过分析,写出琴弦振动的频率f与琴弦的质量m、长度L和张力F的关系式;
b.现将此琴弦的长度裁剪为原来的一半,试求琴弦振动的频率将变为多少?
(注:严格的说,琴弦上的驻波会形成多种频率的振动的叠加。此题中我们不考虑其他驻波的影响,即只需关注琴弦上基波的频率。不懂驻波的同学可以不用管这一条注释,不影响解题)
(3)简谐运动也具有一些其他特征,如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为,其中为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度,a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。我们曾利用此式证明了双弹簧振子的运动是简谐运动。
现在对一个LC振荡电路,请证明电路中电容器极板上的电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律(即电荷量与时间的关系遵从正弦函数规律),并求出电磁振荡频率f的表达式。已知电感线圈中磁场能的表达式为,式中L为线圈的自感系数,I为线圈中电流的大小;电容器中电场能的表达式为。
(1)试证明在小角度下,单摆做简谐运动,并根据简谐运动周期的公式推导出单摆振动频率f的表达式(已知单摆的摆长为L、摆球质量为m、当地重力加速度为g);
(2)在弹吉他时,当拨动琴弦时,琴弦会发生振动,琴弦振动的频率f由琴弦的质量m、长度L和张力F共同决定,假设琴弦振动时,振幅很小,且琴弦的张力保持不变,
a.请通过分析,写出琴弦振动的频率f与琴弦的质量m、长度L和张力F的关系式;
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(注:严格的说,琴弦上的驻波会形成多种频率的振动的叠加。此题中我们不考虑其他驻波的影响,即只需关注琴弦上基波的频率。不懂驻波的同学可以不用管这一条注释,不影响解题)
(3)简谐运动也具有一些其他特征,如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为,其中为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度,a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。我们曾利用此式证明了双弹簧振子的运动是简谐运动。
现在对一个LC振荡电路,请证明电路中电容器极板上的电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律(即电荷量与时间的关系遵从正弦函数规律),并求出电磁振荡频率f的表达式。已知电感线圈中磁场能的表达式为,式中L为线圈的自感系数,I为线圈中电流的大小;电容器中电场能的表达式为。
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