【推荐1】第十届全国大众冰雪季暨第八届河南省大众冰雪系列活动在栾川启动，1300多名滑雪爱好者在蓝天艳阳之下、皑皑白雪之上，迎来了新一季冰雪运动爱好者的“黄金时节”。如图所示，某滑雪爱好者及滑板（可视为质点）由静止开始沿倾角的斜直滑道顶端自由滑下，从A点沿切线进入圆弧轨道，最后从与A点等高的C点飞出。已知滑雪爱好者在A点的速度大小，在最低位置B点时滑板对圆弧轨道的压力大小，圆弧轨道半径，滑雪爱好者及滑板的总质量，滑板与斜直滑道的动摩擦因数，不计空气阻力，取重力加速度大小，，，求：
（1）滑雪爱好者在B点时的速度大小；
（2）斜直滑道的长度；
（3）滑雪爱好者及滑板从斜直滑道顶端运动到点损失的机械能。

【推荐2】如图所示，将直径为2R的半圆形导轨固定在竖直面内的A、B两点，直径AB与竖直面的夹角为60°；在导轨上套一质量为m的小圆环，原长为2R、劲度系数的弹性轻绳穿过圆环且固定在A、B两点．已知弹性轻绳满足胡克定律，且形变量为x时具有弹性势能E_P=kx²，重力加速度为g，不计一切摩擦．将圆环由A点正下方的C点静止释放，当圆环运动到导轨的最低点D点时，求：

（1）圆环的速率v；
（2）导轨对圆环的作用力F的大小。

【推荐3】一同学用一根长，最大只能承受60N拉力的轻绳，拴着一个质量m=1kg的小球（不考虑其大小），在竖直平面内做圆周运动。已知圆心O离地面高H=21m，如图所示，若小球运动到达最低点时绳刚好被球拉断。取g=10m/s²，求小球（答案可用根号表示）
（1）到达最低点的速度大小；
（2）沿圆周运动到与圆心等高的位置时，细线上的拉力大小；
（3）落地点到O点的水平距离。

【推荐1】如图所示，质量为m的小球用两根长度分别为13L、5L的轻绳固定于细杆上间距为12L的A、B两点上，小球可绕细杆在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。求：
（1）为使5L的轻绳不受到拉力作用，小球转动的最大角速度ω₀；
（2）当小球转的角速度为，5L的轻绳受到的拉力大小。

【推荐2】一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。
（1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度；
（2）求出该星球的平均密度；
（3）若根据实验求得的平均密度偏大，则可能是下列哪个原因，并说明理由。
a. 周期T测量数据偏大；
b. 细线长度L测量数据偏大；
c. 夹角θ测量数据偏大。

【推荐3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝37°，一条长为L=2m的轻绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m=3kg的小物体（物体可看作质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．（g=10m/s²）

（1）当v₁=2m/s时，求绳对物体的拉力；
（2）当v₂=m/s时，求绳对物体的拉力．（结果保留根式）