【推荐1】如图所示，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右侧固定了一个四分之一圆弧挡板PQ，P点在水平轨道的延长线上，圆弧半径为R，质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，将A从不同高度自由释放。
（1）求A落在挡板上的动能最小值；
（2）将质量为2m的小物块B置于O点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），B落在挡板上的M点（未画出）。B落在挡板上的速度方向与OM的夹角为，求的最大值；
（3）在（2）中，当最大时，求A下滑的初始位置距x轴的高度。

【推荐2】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，求：
（1）星球M和星球N的密度之比为多少；
（2）Q下落过程中的最大动能与P下落过程中的最大动能之比为多少？

【推荐3】如图所示，固定平行光滑金属导轨与水平面的夹角均为α，导轨间距为L，电阻不计且足够长，导轨上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d的正方形导线框连在一起组成固定装置，总质量为m，导体棒中通以大小恒为I的电流。现将整个装置置于导轨上，线框下边与PQ重合，由静止释放后装置沿斜面下滑，导体棒运动到MN处恰好第一次开始返回，经过若干次往返后，最终装置在斜面上做周期不变的往复运动。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。
（1）在装置第一次下滑的过程中，先后做怎样的运动？（本小题无需说明理由）
（2）求在装置第一次下滑过程中，装置减少的机械能ΔE_机、导体棒中产生的热量Q_棒及导线框中产生的热量Q_框；
（3）装置最终在斜面上做稳定的往复运动的最大速率v_m；
（4）若已知装置最终在斜面上做稳定的往复运动的周期为T，请画出装置从最高点开始的一个运动周期内的v-t图像。

【推荐1】图为一个儿童电动小汽车的轨道传送接收装置,L=1 m的水平直轨道AB与半径均为0.4 m的竖直光滑螺旋圆轨道(O、O’为圆心,C为最高点)相切于B,B'为第2个圆与水平轨道的切点,O'D与O'B'的夹角为60°,接收装置为高度可调节的平台,EF为平台上一条直线,O'EF在同一竖直平面内,装置切面图可抽象为如图所示模型.质量为0.6 kg的电动小汽车以额定功率 P=6 W从起点A启动沿轨道运动,刚好能通过C点,之后沿圆弧从B'运动至D点后抛出,沿水平方向落到平台E点,小汽车与水平直轨道AB的动摩擦因数为μ=0.2,其余轨道均光滑.(空气阻力不计,g取10 m/s²,小汽车运动过程中可视为质点)
(1)求电动机的工作时间.
(2)要保证小汽车沿水平方向到达平台E点,求平台调节到的高度H和EB'的水平位移X.

【推荐2】为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的，其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量为2kg的小物块从某一高处O点被压缩的弹簧水平弹出，到轨道A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数=0.50。（g取10m/s²）求：
（1）若竖直圆弧轨道的半径R=0.66m，小物块不脱离轨道，并恰好通过圆周最高点，弹簧的弹性势能；
（2）压缩的弹簧弹性势能不变，为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件；
（3）压缩的弹簧弹性势能不变，若圆弧轨道的半径为2m，小物块在运动过程中，那么小物块可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.02m的某一点。

【推荐3】如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐，一个质量为1kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度为h=0.6m处静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数，小球进入管口C端时，它对上管壁有F_N=2.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧弹性势能E_p=0.5J。取重力加速度g=10m/s²。求：
(1)小球在C处的速度大小；
(2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km；
(3)小球最终停止的位置。